大草原的中央，一辆消防车停在相互垂直的两条高速公路程的交叉处，此消防车以每小时50英里的速度沿高速公路程行驶，以每小时14英里的速度横穿草原，由该车在6分钟内能到达的地点所围成的图形的面积为 $\frac{m}{n}$ 平方英里，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
731
【解析】
设消防车在高速公路上行驶的时间为 $t$ 小时，其中 $0\leqslant t\leqslant \frac{1}{10}$，于是汽车在6分钟内能到达的地点构成的集合为以 $\left( 0, \pm 50t \right)$ 或 $\left( \pm 50 t,0 \right)$ 为圆心，$14\left( \frac{1}{10}-t \right)$ 为半径的圆周及其内部的点构成集合的并集，其中 $t$ 取遍 $\left[ 0, \frac{1}{10} \right]$ 中的数．
过 $A\left( 0 ,5\right)$ 作圆 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 1.4 \right)}^{2}}$ 的切线 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$，对于圆心为 $\left(0 ,50t \right)$，半径为 $14\left( \frac{1}{10}-t \right)$ 的圆，由于 $\frac{14\left(\frac{1}{10}-t \right)}{5-50t}=\frac{14}{50}$．从而该也与 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$ 相切．故易知围成的图形为“四角星”$A{{A}_{1}}B{{B}_{1}}C{{C}_{1}}D{{D}_{1}}$．
如图所示，由于 $AF$ 与 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left(1.4 \right)}^{2}}$ 相切，故 $\sin \alpha =\frac{1.4}{5}=\frac{7}{25}$，
从而 $\tan \alpha=\frac{7}{24}$，于是 $OF=5\times \frac{7}{24}=\frac{35}{24}$．
同理 $OE=\frac{35}{24}$．
从而 $\frac{{{S}_{\vartriangle{{A}_{1}}BO}}}{{{S}_{\vartriangle A{{A}_{1}}B}}}=\frac{OE}{EA}=\frac{7}{17}=\frac{OF}{BF}=\frac{{{S}_{\vartriangle{{A}_{1}}AO}}}{{{S}_{\vartriangle A{{A}_{1}}B}}}$．
故 ${{S}_{A{{A}_{1}}BO}}\text{=}\frac{14}{31}$，${{S}_{\vartriangle ABO}}\text{=}\frac{7}{31}\cdot {{5}^{2}}\text{=}\frac{175}{31}$．
因此“四角星”的面积为 $\frac{175}{31}\times4=\frac{700}{31}$，故 $m+n=731$．
过 $A\left( 0 ,5\right)$ 作圆 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 1.4 \right)}^{2}}$ 的切线 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$，对于圆心为 $\left(0 ,50t \right)$，半径为 $14\left( \frac{1}{10}-t \right)$ 的圆，由于 $\frac{14\left(\frac{1}{10}-t \right)}{5-50t}=\frac{14}{50}$．从而该也与 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$ 相切．故易知围成的图形为“四角星”$A{{A}_{1}}B{{B}_{1}}C{{C}_{1}}D{{D}_{1}}$．
如图所示，由于 $AF$ 与 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left(1.4 \right)}^{2}}$ 相切，故 $\sin \alpha =\frac{1.4}{5}=\frac{7}{25}$，
从而 $\tan \alpha=\frac{7}{24}$，于是 $OF=5\times \frac{7}{24}=\frac{35}{24}$．
同理 $OE=\frac{35}{24}$．
从而 $\frac{{{S}_{\vartriangle{{A}_{1}}BO}}}{{{S}_{\vartriangle A{{A}_{1}}B}}}=\frac{OE}{EA}=\frac{7}{17}=\frac{OF}{BF}=\frac{{{S}_{\vartriangle{{A}_{1}}AO}}}{{{S}_{\vartriangle A{{A}_{1}}B}}}$．
故 ${{S}_{A{{A}_{1}}BO}}\text{=}\frac{14}{31}$，${{S}_{\vartriangle ABO}}\text{=}\frac{7}{31}\cdot {{5}^{2}}\text{=}\frac{175}{31}$．
因此“四角星”的面积为 $\frac{175}{31}\times4=\frac{700}{31}$，故 $m+n=731$．
答案
解析
备注
