判断曲线 $f(x)=e^{x-1}$ 与曲 $g(x)=\ln x$ 线的公切线的条数，并说明理由
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
【答案】
两条
【解析】
曲线 $f(x)=e^{x-1}$ 与曲线 $g(x)=\ln x$ 有两条公切线．理由如下：设两曲线的公切线为 $l$，与曲线 $f(x)=e^{x-1}$ 切于点 $(a,e^{a-1})$，与曲线 $g(x)=\ln x$ 切于点 $(b,\ln b)$，则直线 $l$ 的方程即可写为 $y-e^{a-1}=e^{a-1}(x-a)$，即 $y=e^{a-1}x+e^{a-1}-ae^{a-1}$，又可写为 $y-\ln b=\dfrac{1}{b}(x-b)$，即 $y=\dfrac{1}{b}x+\ln{b}-1$．因为直线 $l$ 为公切线，所以有 $\begin{cases}
e^{a-1}=\dfrac{1}{b}\\
e^{a-1}-ae^{a-1}=\ln b-1\\
\end{cases}$ 消元整理得 $e^{a-1}-ae^{a-1}+a=0$，所以方程根的个数即为两曲线得公切线条数．设 $m(x)=e^{x-1}-xe^{x-1}+x,m^{\prime}(x)=1-xe^{x-1},m^{\prime\prime}(x)=(-1-x)e^{x-1}$．
当 $x\in (-\infty,-1)$ 时，$m^{\prime\prime}(x)>0,m^{\prime}(x)=1-xe^{x-1}$ 为增函数；
当 $x\in (-1,+\infty)$ 时，$m^{\prime\prime}(x)<0,m^{\prime}(x)=1-xe^{x-1}$ 为减函数；
另外当 $x<0$ 时，$m^{\prime}(x)>1$，$m^{\prime}(1)=0$，$所以m^{\prime}(x)=0$ 的根为 $x=1$．所以当 $x\in (-\infty,1)$ 时 $m^{\prime}(x)>0,m^{\prime}(x)$ 单调递增；当 $x\in (1,+\infty)$ 时，$m^{\prime}(x)<0,m(x)$ 单调递减．而 $m(1)=1>0,m(2)=2-e<0,m(-1)=\dfrac{1}{e^{2}}-1<0,m(0)=\dfrac{1}{e}>0$，又函数 $m(x)$ 在 $\mathbf R$ 上连续，所以函数 $m(x)=e^{x-1}-xe^{x-1}+x$ 有两个零点，分别位于区间 $(-1,0)$ 和区间 $(1,2)$ 内．
所以方程 $e^{a-1}-ae^{a-1}+a=0$ 有两个不同的根，即两曲线有两条共切线．
e^{a-1}=\dfrac{1}{b}\\
e^{a-1}-ae^{a-1}=\ln b-1\\
\end{cases}$ 消元整理得 $e^{a-1}-ae^{a-1}+a=0$，所以方程根的个数即为两曲线得公切线条数．设 $m(x)=e^{x-1}-xe^{x-1}+x,m^{\prime}(x)=1-xe^{x-1},m^{\prime\prime}(x)=(-1-x)e^{x-1}$．
当 $x\in (-\infty,-1)$ 时，$m^{\prime\prime}(x)>0,m^{\prime}(x)=1-xe^{x-1}$ 为增函数；
当 $x\in (-1,+\infty)$ 时，$m^{\prime\prime}(x)<0,m^{\prime}(x)=1-xe^{x-1}$ 为减函数；
另外当 $x<0$ 时，$m^{\prime}(x)>1$，$m^{\prime}(1)=0$，$所以m^{\prime}(x)=0$ 的根为 $x=1$．所以当 $x\in (-\infty,1)$ 时 $m^{\prime}(x)>0,m^{\prime}(x)$ 单调递增；当 $x\in (1,+\infty)$ 时，$m^{\prime}(x)<0,m(x)$ 单调递减．而 $m(1)=1>0,m(2)=2-e<0,m(-1)=\dfrac{1}{e^{2}}-1<0,m(0)=\dfrac{1}{e}>0$，又函数 $m(x)$ 在 $\mathbf R$ 上连续，所以函数 $m(x)=e^{x-1}-xe^{x-1}+x$ 有两个零点，分别位于区间 $(-1,0)$ 和区间 $(1,2)$ 内．
所以方程 $e^{a-1}-ae^{a-1}+a=0$ 有两个不同的根，即两曲线有两条共切线．
答案
解析
备注
