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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
17998 5dc2a19c210b282710a26a7c 高中 解答题 自招竞赛 在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，边 $BC$ 上的垂直平分线与 $AC$ 交于点 $K$，线段 $BK$ 的垂直平分线与 $AB$ 交于点 $L$．若 $CL$ 平 $\angle ACB$，求 $\angle ABC,\angle ACB$ 的所有可能值． 2022-04-17 19:28:37
17997 5dc2a216210b282710a26a84 高中 解答题 自招竞赛 已知凸四边形 $ABCD$ 满足 $\angle ADC=135^\circ,\angle ADB-\angle ABD=2\angle DAB=4\angle CBD$．若 $BC=\sqrt{2}CD$，证明：$AB=BC+AD$． 2022-04-17 19:27:37
17996 5dc2a337210b282710a26a8c 高中 解答题 自招竞赛 在梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，$\Gamma_1,\Gamma_2$ 分别是以 $AD、BC$ 为直径的圆，$X,Y$ 分别为圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 上的任意两点．证明：线段 $XY$ 的长度不超过梯形 $ABCD$ 周长的一半． 2022-04-17 19:27:37
17995 5dc2a6f9210b28270fa5dbaf 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 交于 $A,B$ 两点．圆 $\Gamma_1$，在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma_2$ 的另一个交点为 $P$，直线 $PB$ 与圆 $\Gamma_1$ 的另一个交点为 $Q$，过 $Q$ 作圆 $\Gamma_2$ 的切线，与圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 分别交于 $C、D$ 两点（点 $A,D$ 在直线 $PQ$ 的异侧）．证明：$AD$ 平分 $\angle CAP$． 2022-04-17 19:26:37
17994 5dc3812a210b282710a26a9e 高中 解答题 自招竞赛 已知某三角形能被划分成 $N$ 个彼此相似的四边形．求正整数 $N$ 的所有可能值． 2022-04-17 19:26:37
17993 5dc3816e210b28270fa5dbb7 高中 解答题 自招竞赛 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ,\triangle ABC$ 的外接圆 $\Gamma$ 在点 $A$ 处的切线与 $BC$ 交于点 $P$，$M$ 为劣弧 $\overparen{AB}$ 的中点，线段 $PM$ 与圆 $\Gamma$ 的另一个交点为 $Q$，圆 $\Gamma$ 在点 $Q$ 处的切线与 $AC$ 交于点 $K$．证明：$\angle PKC=90^\circ$． 2022-04-17 19:26:37
17992 5dc382ec210b282710a26aaa 高中 解答题 自招竞赛 已知圆 $\Gamma,\Gamma^\prime$ 交于 $A,B$ 两点．圆 $\Gamma$ 在点 $A$ 处的切线与圆 $\Gamma^\prime$ 的另一个交点为 $C$，圆 $\Gamma^\prime$ 在点 $A$ 处的切线与 $\Gamma$ 的另一个交点为 $D$．设 $\angle CAD$ 的内角平分线与圆 $\Gamma,\Gamma^\prime$ 分别交于 $E,F$ 两点，$\angle CAD$ 的外角平分线与圆 $\Gamma,\Gamma^\prime$ 分别交于点 $X,Y$．证明：线段 $XY$ 的垂直平分线与 $\triangle BEF$ 的外接圆相切． 2022-04-17 19:26:37
17991 5dc3863b210b28270fa5dbc9 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 为边 $BC$ 上的高，$M$ 为边 $AC$ 的中点，点 $X,C$ 在直线 $BM$ 的异侧，满足 $\angle AXB=\angle DXM=90^\circ$．证明：$\angle XMB=2\angle MBC$． 2022-04-17 19:25:37
17990 5dc389c5210b28270fa5dbce 高中 解答题 自招竞赛 已知凸四边形 $ABC$ D的边 $AD,BC$ 所在直线交于点 $P$．设 $I_1,I_2$ 分别为 $\triangle PAB$ 内切圆，$\triangle PDC$ 内切圆的圆心，$O$ 为 $\triangle PAB$ 外接圆的圆心，$H$ 为 $\triangle PDC$ 的垂心．证明：$\triangle AI_1B$ 的外接圆与 $\triangle DHC$ 的外接圆相切，当且仅当 $\triangle AOB$ 的外接圆与 $\triangle DI_2C$ 的外接圆相切． 2022-04-17 19:25:37
17989 5dc38b05210b28270fa5dbd4 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 中，边 $AB、CD$ 所在直线交于点 $E$，边 $AD、BC$ 所在直线交于点 $F$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$．过点 $D$ 的圆 $\Gamma_1$ 与 $AC$ 切于点 $P$，过点 $C$ 的圆 $\Gamma_2$ 与 $BD$ 切于点 $P$．$AD$ 与圆 $\Gamma_1$ 交于点 $X$，$BC$ 与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $P$．设圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 交于除点 $P$ 外的另一点 $Q$．证明：过点 $P$ 且垂直于 $EF $ 的直线通过 $\triangle XQY$ 外接圆的圆心． 2022-04-17 19:24:37
17988 5dc38c6f210b28270fa5dbda 高中 解答题 自招竞赛 平面上是否存在六个点 $X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2$，使得所有的 $\triangle X_iY_jZ_k(1\leqslant i,j,k\leqslant 2)$ 彼此相似？ 2022-04-17 19:24:37
17980 5dc51945210b28270fa5dc69 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形，每条边上有 $3$ 个四等分点在该正方形每边的四等分点中任意选取一个点，顺次联结可得到一个四边形．问：这种四边形的面积可以取到哪些数值？请写下这些数值，不需要证明． 2022-04-17 19:19:37
17979 5dc51c35210b282710a26b83 高中 解答题 自招竞赛 如图，菱形 $EFGH$ 内接于 $\triangle ABC$，且 $AF = EF = CG = EB$．求 $\angle ABC$ 的值． 2022-04-17 19:19:37
17978 5dc51dda210b282710a26b8b 高中 解答题 自招竞赛 在正五边形 $ABCDE$ 中，过点 $C$ 作 $CD$ 的垂线，与边 $AB$ 交于点 $F$．证明：$AE+AF=BE$． 2022-04-17 19:18:37
17977 5dc51eb7210b282710a26b91 高中 解答题 自招竞赛 已知 $P_1,P_2,\cdots,P_{100}$ 为平面上的 $100$ 个点，满足任意三点不共线．对其中的某三个点，若将它们的下标递增排列时恰是顺时针的，则称以这三个点为顶点的三角形是"顺时针的"．问：顺时针的三角形是否可能恰有 $2017$ 个？ 2022-04-17 19:17:37
17976 5dc51f50210b282710a26b98 高中 解答题 自招竞赛 在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$l$ 为过点 $A$ 且平行于边 $BC$ 的直线．设 $D$ 为直线 $l$ 上任意一点，过点 $A$ 作直线 $BD、CD$ 的垂线，垂足分别为 $E、F$，点 $E、F$ 在直线 $l$ 上的射影分别为 $P、Q$．证明：$AP+AQ \leqslant AB$． 2022-04-17 19:16:37
17975 5dc51fac210b28270fa5dc76 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC= 60^\circ$，$BE、CF$ 分别为 $\triangle ABC$ 的两条高，其中，$E、F$ 为垂足．证明：$CE-BF=\dfrac{3}{2}(AC-AB)$． 2022-04-17 19:16:37
17974 5dc52026210b282710a26ba2 高中 解答题 自招竞赛 已知圆 $\Gamma_1、\Gamma_2$ 交于 $A、B$ 两点，过点 $B$ 任作一 直线与圆 $\Gamma_1、\Gamma_2$ 分别交于点 $C、D$，在圆 $\Gamma_1、\Gamma_2$ 上分别取点 $E、F$（均不与点 $B$ 重合），使得 $CE=CB,BD = DF$．设 $BF$ 与圆 $\Gamma_1$ 交于点 $P$，$BE$ 与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $Q$，其中，点 $P、Q$ 均不与点 $B$ 重合．证明：$A,P,Q$ 三点共线． 2022-04-17 19:15:37
17973 5dc52155210b282710a26baa 高中 解答题 自招竞赛 已知平面上有 $n(n>2)$ 个点，满足任意三点不共线过其中任意两点作一直线，并在余下的点中标记出与该直线距离最近的点（已知无论哪种情形，满足该条件的点是唯一的）．问：对每个给定的 $n$，被标记的点至多有多少个？ 2022-04-17 19:14:37
17972 5dc52191210b282710a26bb1 高中 解答题 自招竞赛 在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$l$ 为过点 $A$ 且平行于边 $BC$ 的直线．设 $D$ 为直线 $l$ 上任意一点，过点 $A$ 作直线 $BD、CD$ 的垂线，垂足分别为 $E、F$，点 $E、F$ 在直线 $l$ 上的射影分别为 $P、Q$．证明：$AP+AQ \leqslant AB$． 2022-04-17 19:13:37
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