已知圆 $\Gamma_1、\Gamma_2$ 交于 $A、B$ 两点，过点 $B$ 任作一 直线与圆 $\Gamma_1、\Gamma_2$ 分别交于点 $C、D$，在圆 $\Gamma_1、\Gamma_2$ 上分别取点 $E、F$（均不与点 $B$ 重合），使得 $CE=CB,BD = DF$．设 $BF$ 与圆 $\Gamma_1$ 交于点 $P$，$BE$ 与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $Q$，其中，点 $P、Q$ 均不与点 $B$ 重合．证明：$A,P,Q$ 三点共线．
【难度】
【出处】
2017年第四届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
辅助线如图．
则 $\angle BFD=\angle DBF= 180^\circ-\angle CBP=\angle CEP\Rightarrow \angle CEB+\angle BEP=\angle BFQ +\angle QFD$．
由 $\angle CEB=\angle CBE=\angle QBD=\angle QFD\Rightarrow \angle BEP=\angle BFQ$．
故 $\angle BAP=\angle BEP =\angle BFQ=\angle BAQ$，即 $A、P、Q$ 三点共线．
则 $\angle BFD=\angle DBF= 180^\circ-\angle CBP=\angle CEP\Rightarrow \angle CEB+\angle BEP=\angle BFQ +\angle QFD$．
由 $\angle CEB=\angle CBE=\angle QBD=\angle QFD\Rightarrow \angle BEP=\angle BFQ$．
故 $\angle BAP=\angle BEP =\angle BFQ=\angle BAQ$，即 $A、P、Q$ 三点共线．
答案
解析
备注
