已知平面上有 $n(n>2)$ 个点，满足任意三点不共线过其中任意两点作一直线，并在余下的点中标记出与该直线距离最近的点（已知无论哪种情形，满足该条件的点是唯一的）．问：对每个给定的 $n$，被标记的点至多有多少个？
【难度】
【出处】
2017年第四届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=3$ 时，结论为 $3$ 个．
当 $n> 4$ 时，作一个正 $n$ 边形，略微调整其形状使其满足题述条件在此 $n$ 边形中，可以直接计算角度得到：任何一个顶点距离其相邻两个顶点的连线是最近的．
当 $n=4$ 时，分两种情形讨论．
（1）四个点构成凸四边形的顶点
设这个凸四边形为 $ABCD$．由已知条件，知与该四边形任何一条边距离最短的顶点是唯一 的故四边形 $ABCD$ 的两组对边均不平行．不妨假设射线 $DA$ 与 $CB$ 相交，射线 $AB$ 与 $DC$ 相交．此时，点 $A、B、C$ 被标记．
若点 $D$ 也被标记，则其一定是距离 $AC$ 最近的顶点．故 $S_{\triangle ACD} <S_{\triangle ACB}$．过点 $C$ 作平行于 $AD$ 的直线，与 $AB$ 交于点 $E$．则 $CE<AD$．故 $S_{\triangle ACD}>S_{\triangle ACE}>S_{\triangle ACB}$，矛盾．
（2）四个点中，某个点在以其余三个点为顶点的三角形内部．
设点 $O$ 在 $\triangle ABC$ 内部显然，$O$ 是距离直线 $AB、BC、CA$ 最近的点．不失一般性，假设距离直线 $AO$ 最近的点为 $B$．若距离直线 $BO$ 最近的点为 $A$，则点 $C$ 不会被标记．下面假设距离直线 $BO$ 最近的点为 $C$．若剩下的点 $A$ 被标记，则 $A$ 为距离直线 $CO$ 最近的点．
设直线 $AO$ 与 $BC$ 交于点 $A_1$，类似可定义 $B_1,C_1$．
则 $S_{AA_1B}<S_{\triangle AA_1C}$，即 $A_1B<A_1C$．
类似地，$B_1C<B_1A,C_1A<C_1B$．
三式相乘得 $A_1B\cdot B_1C\cdots C_1A <A_1C\cdot B_1A\cdot C_1B$，这与塞瓦定理矛盾．
故 $ n =4 $ 时，被标记的点最多有 $ 3$ 个．
当 $n> 4$ 时，作一个正 $n$ 边形，略微调整其形状使其满足题述条件在此 $n$ 边形中，可以直接计算角度得到：任何一个顶点距离其相邻两个顶点的连线是最近的．
当 $n=4$ 时，分两种情形讨论．
（1）四个点构成凸四边形的顶点
设这个凸四边形为 $ABCD$．由已知条件，知与该四边形任何一条边距离最短的顶点是唯一 的故四边形 $ABCD$ 的两组对边均不平行．不妨假设射线 $DA$ 与 $CB$ 相交，射线 $AB$ 与 $DC$ 相交．此时，点 $A、B、C$ 被标记．
若点 $D$ 也被标记，则其一定是距离 $AC$ 最近的顶点．故 $S_{\triangle ACD} <S_{\triangle ACB}$．过点 $C$ 作平行于 $AD$ 的直线，与 $AB$ 交于点 $E$．则 $CE<AD$．故 $S_{\triangle ACD}>S_{\triangle ACE}>S_{\triangle ACB}$，矛盾．
（2）四个点中，某个点在以其余三个点为顶点的三角形内部．
设点 $O$ 在 $\triangle ABC$ 内部显然，$O$ 是距离直线 $AB、BC、CA$ 最近的点．不失一般性，假设距离直线 $AO$ 最近的点为 $B$．若距离直线 $BO$ 最近的点为 $A$，则点 $C$ 不会被标记．下面假设距离直线 $BO$ 最近的点为 $C$．若剩下的点 $A$ 被标记，则 $A$ 为距离直线 $CO$ 最近的点．
设直线 $AO$ 与 $BC$ 交于点 $A_1$，类似可定义 $B_1,C_1$．
则 $S_{AA_1B}<S_{\triangle AA_1C}$，即 $A_1B<A_1C$．
类似地，$B_1C<B_1A,C_1A<C_1B$．
三式相乘得 $A_1B\cdot B_1C\cdots C_1A <A_1C\cdot B_1A\cdot C_1B$，这与塞瓦定理矛盾．
故 $ n =4 $ 时，被标记的点最多有 $ 3$ 个．
答案
解析
备注
