如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 为边 $BC$ 上的高，$M$ 为边 $AC$ 的中点，点 $X,C$ 在直线 $BM$ 的异侧，满足 $\angle AXB=\angle DXM=90^\circ$．证明：$\angle XMB=2\angle MBC$．
【难度】
【出处】
2016年第三届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $N$ 为边 $AB$ 的中点．
于是，$MN\parallel BC$，且 $\angle MBC=\angle NMB$．
下面只需证明：$MN$ 平分 $\angle XMB$．
由 $\angle ADB=\angle AXB=90^\circ$，知 $A、X、D、B$ 四点共圆．
则 $\angle BXD=\angle BAD-90^\circ-\angle ABC$
$\Rightarrow \angle BXM=90^\circ+\angle BXD=180^\circ-\angle ABC=\angle BNM$
$\Rightarrow B,N,X,M$ 四点共圆．
又 $NB=NX$，从而，$MN$ 平分 $\angle XMB$．
于是，$MN\parallel BC$，且 $\angle MBC=\angle NMB$．
下面只需证明：$MN$ 平分 $\angle XMB$．
由 $\angle ADB=\angle AXB=90^\circ$，知 $A、X、D、B$ 四点共圆．
则 $\angle BXD=\angle BAD-90^\circ-\angle ABC$
$\Rightarrow \angle BXM=90^\circ+\angle BXD=180^\circ-\angle ABC=\angle BNM$
$\Rightarrow B,N,X,M$ 四点共圆．
又 $NB=NX$，从而，$MN$ 平分 $\angle XMB$．
答案
解析
备注
