平面上是否存在六个点 $X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2$，使得所有的 $\triangle X_iY_jZ_k(1\leqslant i,j,k\leqslant 2)$ 彼此相似？
【难度】
【出处】
2016年第三届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，假设存在一个 $\triangle XYZ$，满足 $XY = 1 , YZ = t^2 , ZX = t^3$，且 $\angle Z=\angle X+2\angle Y$．
对于充分小的 $t$，有 $\angle Z>\angle X+2\angle Y$．
对 $t= 1$，有 $\angle Z<\angle X+2\angle Y$．
因此，存在某个三角形满足上述条件．
接下来考虑下图中的六个点，这些点满足题目条件．
因此，存在六个点 $X_1、X_2、Y_1、Y_2、Z_1、Z_2 $，使得所有的 $\triangle X_iY_jZ_k(1\leqslant i、j、k \leqslant 2)$ 彼此相似．
对于充分小的 $t$，有 $\angle Z>\angle X+2\angle Y$．对 $t= 1$，有 $\angle Z<\angle X+2\angle Y$．
因此，存在某个三角形满足上述条件．
接下来考虑下图中的六个点，这些点满足题目条件．
因此，存在六个点 $X_1、X_2、Y_1、Y_2、Z_1、Z_2 $，使得所有的 $\triangle X_iY_jZ_k(1\leqslant i、j、k \leqslant 2)$ 彼此相似．
答案
解析
备注
