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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18028 5dbbcf7b210b282710a268f4 高中 解答题 自招竞赛 马赫迪和莫特扎各画了一个圆内接 $93$ 边形，分别记作 $A:A_1A_2\cdots A_{93},B:B_1B_2\cdots B_{93}$．已知 $A_iA_{i+1}\parallel B_iB_{i+1}(1\leqslant i\leqslant 93,A_{94} = A_1,B_{94}=B_1)$．证明：$\dfrac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}$ 为一个与 $i$ 无关的常数． 2022-04-17 19:43:37
18027 5dbbd2ce210b28270fa5da9b 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，以 $BC$ 为直径的圆与边 $ AB,AC$ 分别交于点 $E,F,M$ 为边 $BC$ 的中点，$AM$ 与 $EF$ 交于点 $P$，$X$ 为劣弧 $\overparen{EF}$ 上一点，$Y$ 为直线 $XP$ 与圆的另一个交点．证明：$\angle XAY=\angle XYM$． 2022-04-17 19:42:37
18026 5dbbd362210b282710a2690f 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AC> AB$，其外接圆 $\odot O$ 在点 $A$ 处的切线与线段 $CB$ 的延长线交于点 $P$，$X$ 为线段 $OP$ 上一 点，满足 $\angle AXP=90^\circ$．$E,F$ 分别为边 $AB,AC$ 上两点（在 $OP$ 的同侧），使得 $\angle EXP=\angle ACX,\angle FXO=\angle ABX$．若直线 $EF$ 与 $\odot
O$ 的交点为 $K,L$，证明：$OP$ 与 $\triangle KLX$ 的外接圆相切．		 2022-04-17 19:42:37
18025 5dbbd410210b282710a26918 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上有两点 $P,Q$，其到 $BC$ 中点的距离相等，过点 $P,Q$ 分别作 $BC$ 的垂线，与 $AC,AB$ 分别交于点 $E,F$，$M$ 为 $PF$ 与 $EQ$ 的交点，$H_I,H_2$ 分别为 $\triangle BFP,\triangle CEQ$ 的垂心．证明：$AM\perp H_1H_2$． 2022-04-17 19:41:37
18014 5dbfd8d5210b28270fa5daff 高中 解答题 自招竞赛 如图，$AB=CD,BC=2AD,\angle ABC=90^\circ,\angle BCD=30^\circ$．证明；$\angle BAD=30^\circ$． 2022-04-17 19:36:37
18013 5dbfdc0c210b28270fa5db07 高中 解答题 自招竞赛 在矩形 $ABCD$ 中，点 $M,N,P,Q$ 分别在边 $AB,BC,CD,DA$ 上，使得 $S_{\triangle AQM}=S_{\triangle BMN}=S_{\triangle CNP}=S_{\triangle DPQ}$．
证明：四边形 $MNPQ$ 为平行四边形．		 2022-04-17 19:36:37
18012 5dbfdc91210b28270fa5db0c 高中 解答题 自招竞赛 在平面上是否存在六个圆，使得每个圆均恰经过其他五个圆中的三个圆的圆心？ 2022-04-17 19:35:37
18011 5dbfdf87210b28270fa5db13 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $P,A,B$ 在圆上，点 $Q$ 在圆的内部，使得 $\angle PAQ=90^\circ$，且 $PQ=BQ$．证明：$\angle AQB-\angle PQA=\overparen{AB}^\circ$． 2022-04-17 19:34:37
18010 5dbfe173210b28270fa5db1f 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$BH$ 为高，$D,E$ 分别为边 $AB,AC$ 的中点，设 $F$ 为点 $H$ 关于直线 $ED$ 的对称点．证明：$\triangle ABC$ 的外心在直线 $BF$ 上． 2022-04-17 19:34:37
18009 5dbfe1af210b282710a269c3 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$M、N、K$ 分别为边 $BC、CA、AB$ 的中点，$\mathit{\Gamma}_B、\mathit{\Gamma}_C$ 分别是以边 $AC、AB$ 为直径的在三角形外部的半圆，$MK$ 与半圆 $\mathit{\Gamma}_C$ 交于点 $X$，$MN$ 与半圆 $\mathit{\Gamma}_B$ 交于点 $Y$．过点 $X$ 的半圆 $\mathit{\Gamma}_C$ 的切线与过点 $Y$ 的半圆 $\mathit{\Gamma}_B$ 的切线交于点 $Z$．证明：$AZ \perp BC$． 2022-04-17 19:34:37
18008 5dbfe333210b28270fa5db26 高中 解答题 自招竞赛 设正 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\odot O$，$P$ 为弧 $\overparen{BC}$ 上一点，过点 $P$ 作 $\odot O$ 的切线，分别与 $AB、AC$ 的延长线交于点 $K、L$．证明：$\angle KOL>90^\circ$． 2022-04-17 19:33:37
18007 5dbfe487210b28270fa5db2b 高中 解答题 自招竞赛 （1）在平面上是否存在五个圆，使得每个圆均恰经过其他四个圆中的三个圆的圆心？
（2）在平面上是否存在六个圆，使得每个圆均恰经过其他五个圆中的三个圆的圆心？		 2022-04-17 19:33:37
18006 5dbfe54f210b282710a269d0 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 交于点 $A、B$，点 $X$ 在 $\odot O_2$ 上．设点 $Y$ 在 $\odot O_1$ 上，使得 $\angle XBY= 90^\circ$，$O_1X$ 与 $\odot O_2$ 的另一个交点为 $X^\prime,X^\prime Y$ 与 $\odot O_2$ 的另一个交点为 $K$．证明：$X$ 为弧 $\overparen{AK}$ 的中点． 2022-04-17 19:33:37
18005 5dbfe5f8210b282710a269d7 高中 解答题 自招竞赛 设正 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\odot O$，$P$ 为弧 $\overparen{BC}$ 上一点，过点 $P$ 作 $\odot O$ 的切线，分别与 $AB、AC$ 的延长线交于点 $K、L$．证明：$\angle KOL>90^\circ$． 2022-04-17 19:33:37
18004 5dbfea6c210b282710a269dd 高中 解答题 自招竞赛 设 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，$l_1\perp l_2$ 且均过点 $H$，直线 $l_1$ 与边 $BC$，线段 $AB$ 的延长线分别交于点 $D,Z$，直线 $l_2$ 与边 $BC$，线段 $AC$ 的延长线分别交于点 $E,X$．设点 $Y$ 使得 $ YD\parallel AC $，且 $ YE\parallel AB $，证明：$ X,Y,Z$ 三点共线． 2022-04-17 19:32:37
18003 5dbfeab4210b28270fa5db36 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径作圆，与直线 $AC$ 有两个交点；以 $A$ 为圆心、$AC$ 为半径作圆，与直线 $AB$ 有两个交点．将这四个点记为 $A_1,A_2,A_3,A_4 $．类似地得到 $B_1,B_2,B_3,B_4,C_1,C_2,C_3,C_4$．若这 $12$ 个点在某两个圆上，证明：$\triangle ABC$ 为等腰三角形． 2022-04-17 19:32:37
18002 5dbfeb61210b282710a269e6 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 的外部作矩形 $ABA_1B_2$、矩形 $BCB_1C_2$、矩形 $ CAC_1A_2$，设点 $C^\prime$ 使得 $C^\prime A_1\perp A_1C_2$，且 $C^\prime B_2 \perp B_2C_1$，点 $ A^\prime、B^\prime $ 类似．证明：$ AA^\prime、BB^\prime、CC^\prime$ 三线共点． 2022-04-17 19:32:37
18001 5dc28224210b28270fa5db96 高中 解答题 自招竞赛 如图，艾利打算从点 $A$ 走到点 $B$，要求他不能走进阴影区域，但是可以在白色区域沿任意方向行走（可以在整个平面上移动，不仅仅沿网格线）．请帮助艾利找到点 $A,B$ 之间的最短路径，只需画出路径，并写出其长度． 2022-04-17 19:31:37
18000 5dc29de1210b28270fa5db9e 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC>AB$，圆 $\mathit{\Gamma}$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆．设 $X$ 为线段 $AC$ 上一点，$Y$ 为圆 $\mathit{\Gamma}$ 上一点（点 $A,Y$ 在直线 $BC$ 的异侧），满足 $CX=CY=AB$，直线 $XY$ 与圆 $\mathit{\Gamma}$ 的另一个交点为 $P$．证明：$PB=PC$． 2022-04-17 19:31:37
17999 5dc2a14a210b28270fa5dba6 高中 解答题 自招竞赛 设凸四边形 $ABCD$ 的两组对边不平行，以其任意一对邻边作平行四边形，每个平行四边形均含有一个不同于点 $A、B、C、D$ 的新顶点．证明：所作的四个新顶点中，恰有一个在四边形 $ABCD$ 的内部． 2022-04-17 19:30:37
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