2015年第二届伊朗几何奥林匹克

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  平面几何

略

（1）不存在五个圆，使得每个圆均恰经过其他四个圆中的三个圆的圆心．
假设存在五个满足题设的圆，则此五个 圆心满足每个点与另外的四个点中的三个点 有相同的距离，与第四个点的距离不同．从这个点到第四个点画一个单向箭头．
先证明一个引理．
引理：不存在两点 $O_i,O_j$，它们之间连有双向箭头．
证明：假设存在两点 $O_i,O_j$，它们之间连有双向箭头则其他三个点到 $O_i$ 的距离相等，到 $O_j$ 的距离也相等．于是，过其他三个点的圆的圆心既为 $O_i$ 又为 $O_j$，矛盾．故不存在两点 $O_i,O_j$，它们之间连有双向箭头．
引理得证．
假设五个圆的圆心分别为 $O_1,O_2, \cdots,O_5$，不妨设 $O_1,O_2$ 之间的箭头是从 $O_1$ 指向 $ O_2 $．于是，$ O_3,O_4,O_5 $ 均在以 $ O_1 $ 为圆心的圆（半径不等于 $ O_1O_2 $）上；$ O_3,O_4,O_5 $ 中两点在以 $ O_2 $ 为圆心，$ O_1O_2 $ 为半径的圆上，不妨设这两点为 $ O_3,O_4$．
下面考虑以 $O_3$ 为圆心的圆．
因为 $O_3O_1\ne O_3O_2$，所以，此圆的半径要么为 $O_3O_1$，要么为 $O_3O_2$．
（i）若半径为 $O_3O_1=a$（如图），则 $O_3O_4=O_3O_5=a$．此时，$O_4O_1=O_4O_3=a$．
但 $O_4O_5\ne a,O_4O_2\ne a$，以 $O_4$ 为圆心作圆不可能经过 $O_1,O_2,O_3,O_5$ 中的三个点．
（ii）若半径为 $O_3O_2=b$，则 $O_3O_4=O_3O_5=b$．
若 $O_4O_5=b$（如图），则以 $O_5$ 为圆心作圆不可能经过 $O_1,O_2,O_3,O_4$ 中的三个点．若 $O_4O_5\ne b$，则以 $O_4$ 为圆心作圆不可能经过 $O_1,O_2,O_3,O_5$ 中的三个点．
（2）如图，四边形 $O_1O_2O_3O_4$ 是边长为 $1$ 的正方形，$\triangle O_1O_4O_5,\triangle O_2O_3O_6$ 的边长均为 $1$．则以 $O_1,O_2,\cdots,O_6$ 分别为圆心、$1$ 为半径的六个圆满足题目要求．