如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC>AB$，圆 $\mathit{\Gamma}$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆．设 $X$ 为线段 $AC$ 上一点，$Y$ 为圆 $\mathit{\Gamma}$ 上一点（点 $A,Y$ 在直线 $BC$ 的异侧），满足 $CX=CY=AB$，直线 $XY$ 与圆 $\mathit{\Gamma}$ 的另一个交点为 $P$．证明：$PB=PC$．
【难度】
【出处】
2016年第三届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $CX=CY$，所以，$\angle YXC=\angle XYC$．
这表明，$\overparen{AP}+\overparen{CY}=\overparen{PC}$．
又 $AB=CY$，则
$\begin{aligned}
&\overparen{AB}=\overparen{CY}\\
&\Rightarrow \overparen{AP}+\overparen{CY}=\overparen{AP}+\overparen{AB}=\overparen{PB}\\
&\Rightarrow\overparen{PB}=\overparen{PC}\Rightarrow PB=PC.
\end{aligned}$
这表明，$\overparen{AP}+\overparen{CY}=\overparen{PC}$．
又 $AB=CY$，则
$\begin{aligned}
&\overparen{AB}=\overparen{CY}\\
&\Rightarrow \overparen{AP}+\overparen{CY}=\overparen{AP}+\overparen{AB}=\overparen{PB}\\
&\Rightarrow\overparen{PB}=\overparen{PC}\Rightarrow PB=PC.
\end{aligned}$
答案
解析
备注
