在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AC> AB$，其外接圆 $\odot O$ 在点 $A$ 处的切线与线段 $CB$ 的延长线交于点 $P$，$X$ 为线段 $OP$ 上一 点，满足 $\angle AXP=90^\circ$．$E,F$ 分别为边 $AB,AC$ 上两点（在 $OP$ 的同侧），使得 $\angle EXP=\angle ACX,\angle FXO=\angle ABX$．若直线 $EF$ 与 $\odot
O$ 的交点为 $K,L$，证明：$OP$ 与 $\triangle KLX$ 的外接圆相切．
O$ 的交点为 $K,L$，证明：$OP$ 与 $\triangle KLX$ 的外接圆相切．
【难度】
【出处】
2014年第一届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $XE,XF$ 的延长线与 $\triangle XKL$ 的外接圆分别交于点 $M,N$．
显然，$XF\cdot FM=FL\cdot FK =AF\cdot FC$．
故 $A ,M,C ,X$ 四点共圆．
于是，$ \angle AMX=\angle ACX$．
类似地，$A,N,B,X$ 四点共圆．
欲证 $OP$ 与 $\triangle KLX$ 的外接圆相切，只需证 $OP$ 与 $\triangle MXN$ 的外接圆相切，即
$\angle NXP=\angle NMX$．
注意到，$\angle NXP=\angle ACX=\angle AMX$．
故只需证明 $\angle AMX=\angle NMX$，即 $A、N、M$ 三点共线．
事实上，
$\begin{aligned}
&\angle FAM=\angle FXC= \angle FXO+\angle OXC\\
&＝\angle ABX+\angle EXP=\angle ABX+\angle ACX\\
&＝\angle BXC-\angle BAC
\end{aligned}$．
则
$\begin{aligned}
&\angle NAM=\angle NAE+\angle BAC+\angle FAM\\
&=\angle EXB+\angle BAC+(\angle BXC-\angle BAC)\\
&=\angle EXB+\angle BXC=180^\circ
\end{aligned}$
从而，$A,N,M$ 三点共线．
显然，$XF\cdot FM=FL\cdot FK =AF\cdot FC$．故 $A ,M,C ,X$ 四点共圆．
于是，$ \angle AMX=\angle ACX$．
类似地，$A,N,B,X$ 四点共圆．
欲证 $OP$ 与 $\triangle KLX$ 的外接圆相切，只需证 $OP$ 与 $\triangle MXN$ 的外接圆相切，即
$\angle NXP=\angle NMX$．
注意到，$\angle NXP=\angle ACX=\angle AMX$．
故只需证明 $\angle AMX=\angle NMX$，即 $A、N、M$ 三点共线．
事实上，
$\begin{aligned}
&\angle FAM=\angle FXC= \angle FXO+\angle OXC\\
&＝\angle ABX+\angle EXP=\angle ABX+\angle ACX\\
&＝\angle BXC-\angle BAC
\end{aligned}$．
则
$\begin{aligned}
&\angle NAM=\angle NAE+\angle BAC+\angle FAM\\
&=\angle EXB+\angle BAC+(\angle BXC-\angle BAC)\\
&=\angle EXB+\angle BXC=180^\circ
\end{aligned}$
从而，$A,N,M$ 三点共线．
答案
解析
备注
