在 $\triangle ABC$ 中，以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径作圆，与直线 $AC$ 有两个交点；以 $A$ 为圆心、$AC$ 为半径作圆，与直线 $AB$ 有两个交点．将这四个点记为 $A_1,A_2,A_3,A_4 $．类似地得到 $B_1,B_2,B_3,B_4,C_1,C_2,C_3,C_4$．若这 $12$ 个点在某两个圆上，证明：$\triangle ABC$ 为等腰三角形．
【难度】
【出处】
2015年第二届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $\triangle ABC$ 不为等腰三角形，不妨设 $a>b>c$．
$\triangle ABC$ 每条边所在的直线含 $12$ 个点中的四个点．设 $12$ 个点中的四个点．设 $12$ 个点所在的两个圆为圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$，则每个圆交各边恰两个点．设 $P(A,\Gamma_1),P(A,\Gamma_2)$ 分别表示点 $A$ 关于圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 的幂．分别对点 $A$ 出发的两圆的两条割线使用割线定理，并注意到 $a>b>c$，则 $|P(A,\Gamma_1)\cdot P(A,\Gamma_2)|=b\cdot b(a-c)(a+c)=c\cdot c(a-b)(a+b)$．
故 $b^2(a^2-c^2)=c^2(a^2-b^2)\Rightarrow a^2(b^2-c^2)=0$．
这与 $b>c$ 矛盾．
从而，$\triangle ABC$ 为等腰三角形．
$\triangle ABC$ 每条边所在的直线含 $12$ 个点中的四个点．设 $12$ 个点中的四个点．设 $12$ 个点所在的两个圆为圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$，则每个圆交各边恰两个点．设 $P(A,\Gamma_1),P(A,\Gamma_2)$ 分别表示点 $A$ 关于圆 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 的幂．分别对点 $A$ 出发的两圆的两条割线使用割线定理，并注意到 $a>b>c$，则 $|P(A,\Gamma_1)\cdot P(A,\Gamma_2)|=b\cdot b(a-c)(a+c)=c\cdot c(a-b)(a+b)$．
故 $b^2(a^2-c^2)=c^2(a^2-b^2)\Rightarrow a^2(b^2-c^2)=0$．
这与 $b>c$ 矛盾．
从而，$\triangle ABC$ 为等腰三角形．
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解析
备注
