在 $\triangle ABC$ 中，$M、N、K$ 分别为边 $BC、CA、AB$ 的中点，$\mathit{\Gamma}_B、\mathit{\Gamma}_C$ 分别是以边 $AC、AB$ 为直径的在三角形外部的半圆，$MK$ 与半圆 $\mathit{\Gamma}_C$ 交于点 $X$，$MN$ 与半圆 $\mathit{\Gamma}_B$ 交于点 $Y$．过点 $X$ 的半圆 $\mathit{\Gamma}_C$ 的切线与过点 $Y$ 的半圆 $\mathit{\Gamma}_B$ 的切线交于点 $Z$．证明：$AZ \perp BC$．
【难度】
【出处】
2015年第二届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，过点 $A $ 作 $AH \perp BC$，垂足为 $H$．则 $H$ 也为两圆交点．
由
$\begin{aligned}
&KM\parallel AC,MN\parallel AB\\
&\Rightarrow \angle AKX=\angle ANY=\angle BAC\\
&\Rightarrow \angle ABX=\angle ACY=\dfrac{1}{2}\angle BAC\\
&\Rightarrow \angle XAB=\angle YAC=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle BAC\\
&\Rightarrow X,A,Y三点共线
\end{aligned}$
由弦切角定理有
$\angle ZXY=\angle ZYX=\dfrac{1}{2}\angle BAC\Rightarrow ZX=ZY$．
于是，点 $Z$ 在圆 $\Gamma_B,\Gamma_C$ 根轴上．
从而，$Z,A,H$ 三点共线．
故 $AZ\perp BC$．
由$\begin{aligned}
&KM\parallel AC,MN\parallel AB\\
&\Rightarrow \angle AKX=\angle ANY=\angle BAC\\
&\Rightarrow \angle ABX=\angle ACY=\dfrac{1}{2}\angle BAC\\
&\Rightarrow \angle XAB=\angle YAC=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle BAC\\
&\Rightarrow X,A,Y三点共线
\end{aligned}$
由弦切角定理有
$\angle ZXY=\angle ZYX=\dfrac{1}{2}\angle BAC\Rightarrow ZX=ZY$．
于是，点 $Z$ 在圆 $\Gamma_B,\Gamma_C$ 根轴上．
从而，$Z,A,H$ 三点共线．
故 $AZ\perp BC$．
答案
解析
备注
