设凸四边形 $ABCD$ 的两组对边不平行，以其任意一对邻边作平行四边形，每个平行四边形均含有一个不同于点 $A、B、C、D$ 的新顶点．证明：所作的四个新顶点中，恰有一个在四边形 $ABCD$ 的内部．
【难度】
【出处】
2016年第三届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然，过点 $B$ 且平行于边 $AD$ 的直线通过四边形 $ABCD$ 的充分必要条件为 $\angle DAB+\angle ABC>180^\circ$．
下面证明：存在一个平行四边形，其新作的两条邻边所在直线均通过四边 $ABCD$．
在 $(\angle A,\angle B),(\angle C,\angle D)$ 中，仅有一对角的度数之和大于 $180^\circ$；在 $(\angle A,\angle D),(\angle B,\angle C)$ 中，也仅有一对角的度数之和大于 $180^\circ$．这两对角恰有一个公共角，不妨设为 $\angle A$．于是，过点 $B$ 且平行于 $AD$ 的直线与过点 $D$ 且平行于 $AB$ 的直线的交点在四边形 $ABCD$ 的内部．
下面证明：存在一个平行四边形，其新作的两条邻边所在直线均通过四边 $ABCD$．
在 $(\angle A,\angle B),(\angle C,\angle D)$ 中，仅有一对角的度数之和大于 $180^\circ$；在 $(\angle A,\angle D),(\angle B,\angle C)$ 中，也仅有一对角的度数之和大于 $180^\circ$．这两对角恰有一个公共角，不妨设为 $\angle A$．于是，过点 $B$ 且平行于 $AD$ 的直线与过点 $D$ 且平行于 $AB$ 的直线的交点在四边形 $ABCD$ 的内部．
答案
解析
备注
