在锐角 $\triangle ABC$ 中，以 $BC$ 为直径的圆与边 $ AB,AC$ 分别交于点 $E,F,M$ 为边 $BC$ 的中点，$AM$ 与 $EF$ 交于点 $P$，$X$ 为劣弧 $\overparen{EF}$ 上一点，$Y$ 为直线 $XP$ 与圆的另一个交点．证明：$\angle XAY=\angle XYM$．
【难度】
【出处】
2014年第一届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $AM$ 与 $\triangle AEF$ 的外接圆交于另一点 $K$．
因为 $\angle MFC = \angle MCF =\angle AEF$，所以，$MF$ 与 $\triangle AEF$ 的外接圆切于点 $F$．
由圆幕定理知 $MF^2=MK\cdot MA$．
又 $MY=MF \Rightarrow MY^2=MK\cdot MA\Rightarrow \angle YAM=\angle MYK$．①
由 $AP\cdot PK=PE\cdot PF =PX\cdot PY$，知 $A,X,K,Y$ 四点共圆．
故 $\angle XAK=\angle XYK$．②
① + ② 得 $\angle XAY=\angle XYM$．
因为 $\angle MFC = \angle MCF =\angle AEF$，所以，$MF$ 与 $\triangle AEF$ 的外接圆切于点 $F$．由圆幕定理知 $MF^2=MK\cdot MA$．
又 $MY=MF \Rightarrow MY^2=MK\cdot MA\Rightarrow \angle YAM=\angle MYK$．①
由 $AP\cdot PK=PE\cdot PF =PX\cdot PY$，知 $A,X,K,Y$ 四点共圆．
故 $\angle XAK=\angle XYK$．②
① + ② 得 $\angle XAY=\angle XYM$．
答案
解析
备注
