已知 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 交于点 $A、B$，点 $X$ 在 $\odot O_2$ 上．设点 $Y$ 在 $\odot O_1$ 上，使得 $\angle XBY= 90^\circ$，$O_1X$ 与 $\odot O_2$ 的另一个交点为 $X^\prime,X^\prime Y$ 与 $\odot O_2$ 的另一个交点为 $K$．证明：$X$ 为弧 $\overparen{AK}$ 的中点．
【难度】
【出处】
2015年第二届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $XB$ 与 $\odot O_1$ 交于点 $Z$．
由 $\angle XBY=90^\circ$，则 $Y,O_1,Z$ 三点共线．
因为 $\angle O_1YA=\angle ABX=\angle AX^\prime X$，所以，$Y,A,X^\prime,O_1$ 四点共圆．
又 $O_1Y=O_1A$，则 $\angle AX^\prime X=\angle O_1YA=\angle O_1AY=\angle O_1X^\prime Y=\angle KX^\prime X$．
故 $X$ 为弧 $\overparen {AK}$ 的中点．
由 $\angle XBY=90^\circ$，则 $Y,O_1,Z$ 三点共线．因为 $\angle O_1YA=\angle ABX=\angle AX^\prime X$，所以，$Y,A,X^\prime,O_1$ 四点共圆．
又 $O_1Y=O_1A$，则 $\angle AX^\prime X=\angle O_1YA=\angle O_1AY=\angle O_1X^\prime Y=\angle KX^\prime X$．
故 $X$ 为弧 $\overparen {AK}$ 的中点．
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