在锐角 $\triangle ABC$ 中，$BH$ 为高，$D,E$ 分别为边 $AB,AC$ 的中点，设 $F$ 为点 $H$ 关于直线 $ED$ 的对称点．证明：$\triangle ABC$ 的外心在直线 $BF$ 上．
【难度】
【出处】
2015年第二届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图
设 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$．则 $\angle OBA=90^\circ-\angle C$．
于是，只要证：$\angle FBA=90^\circ -\angle C$．
因为 $AD=BD=DH =DF$，所以，$A、H、F、B$ 四点共圆（圆心为 $D$）．
故 $\angle FBA=\angle FHE=90^\circ-\angle DEH =90\circ-\angle C$．
设 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$．则 $\angle OBA=90^\circ-\angle C$．于是，只要证：$\angle FBA=90^\circ -\angle C$．
因为 $AD=BD=DH =DF$，所以，$A、H、F、B$ 四点共圆（圆心为 $D$）．
故 $\angle FBA=\angle FHE=90^\circ-\angle DEH =90\circ-\angle C$．
答案
解析
备注
