马赫迪和莫特扎各画了一个圆内接 $93$ 边形，分别记作 $A:A_1A_2\cdots A_{93},B:B_1B_2\cdots B_{93}$．已知 $A_iA_{i+1}\parallel B_iB_{i+1}(1\leqslant i\leqslant 93,A_{94} = A_1,B_{94}=B_1)$．证明：$\dfrac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}$ 为一个与 $i$ 无关的常数．
【难度】
【出处】
2014年第一届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
作与 $93$ 边形 $B$ 相似的 $93$ 边形，使之内接于 $93$ 边形 $A$ 的外接圆．于是，新作的 $93$ 边形与 $93$ 边形 $B$ 的对应边之比为某个常数 $c$．
从而，只需证明两个内接于同一圆的 $ 93 $ 边形满足题目的条件即可．
记这两个 $93$ 边形分别为 $A_1A_2\cdots A_{93},C_1C_2\cdots C_{93}$．
因为 $A_1A_2 \parallel C_1C_2$，所以，$\overparen{A_1C_1}=\overparen{A_2C_2}$，但方向相反．
事实上，对任意的 $i(1\leqslant i\leqslant 93)$，均有 $\overparen{A_iC_i}=\overparen{A_{i+1}C_{i+1}}(\overparen{A_{94}C_{94}}=\overparen{A_1C_1})$ 且方向相反．
从而，得到 $\overparen{A_1C_1}$ 与 $\overparen{A_1C_1}$ 方向相反．
这表明，$\overparen{A_1C_1}= 0^\circ$ 或 $180^\circ$，即两个 $ 93$ 边形要么重合，要么关于圆心中心对称．
显然，$\dfrac{A_iA_{i+1}}{C_iC_{i+1}}=1$．
因此，$\dfrac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}=c$（常数）．
从而，只需证明两个内接于同一圆的 $ 93 $ 边形满足题目的条件即可．
记这两个 $93$ 边形分别为 $A_1A_2\cdots A_{93},C_1C_2\cdots C_{93}$．
因为 $A_1A_2 \parallel C_1C_2$，所以，$\overparen{A_1C_1}=\overparen{A_2C_2}$，但方向相反．
事实上，对任意的 $i(1\leqslant i\leqslant 93)$，均有 $\overparen{A_iC_i}=\overparen{A_{i+1}C_{i+1}}(\overparen{A_{94}C_{94}}=\overparen{A_1C_1})$ 且方向相反．
从而，得到 $\overparen{A_1C_1}$ 与 $\overparen{A_1C_1}$ 方向相反．
这表明，$\overparen{A_1C_1}= 0^\circ$ 或 $180^\circ$，即两个 $ 93$ 边形要么重合，要么关于圆心中心对称．
显然，$\dfrac{A_iA_{i+1}}{C_iC_{i+1}}=1$．
因此，$\dfrac{A_iA_{i+1}}{B_iB_{i+1}}=c$（常数）．
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解析
备注
