设 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，$l_1\perp l_2$ 且均过点 $H$，直线 $l_1$ 与边 $BC$，线段 $AB$ 的延长线分别交于点 $D,Z$，直线 $l_2$ 与边 $BC$，线段 $AC$ 的延长线分别交于点 $E,X$．设点 $Y$ 使得 $ YD\parallel AC $，且 $ YE\parallel AB $，证明：$ X,Y,Z$ 三点共线．
【难度】
【出处】
2015年第二届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $ZH $ 的延长线与 $ AC$ 交于点 $P$，$XH $ 的延长线与 $AB$ 交于点 $ Q$，联结 $HB,HC$．
在 $\triangle AQX$ 和 $\triangle APZ$ 中分别运用梅涅劳斯定理有 $\dfrac{CX}{XE}\cdot\dfrac{EQ}{QB}\cdot \dfrac{BA}{AC}=1$ ①
$\dfrac{AC}{CP}\cdot\dfrac{PD}{DZ}\cdot \dfrac{ZB}{BA}=1$ ②
又 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，则 $BH\perp AC$．
因为 $\angle DHE=90^\circ$，所以，$\angle HXA=\angle BHZ\triangleq \alpha$．
类似地 $\angle HZA=\angle CHX\triangleq \theta$．
则 $\dfrac{PC}{CX}=\dfrac{PH\sin\angle PHC}{HX\sin\theta}=\dfrac{PH}{HX}\cdot\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{\tan\alpha}{\tan\theta}$．
类似地，$\dfrac{BZ}{BQ}=\dfrac{\tan\alpha}{\tan\theta}$．
故 $\dfrac{PC}{CX}=\dfrac{BZ}{BQ},\dfrac{CX\cdot BZ}{BQ\cdot PC}=1$ ③
$ ① \times ② \times ③ $ 得 $\dfrac{QE\cdot PD}{EX\cdot DZ}=1\Rightarrow \dfrac{EX}{QE}=\dfrac{PD}{DZ}$ ④
设过点 $E$ 平行于 $AB$ 的直线与 $ZX$ 交于点 $Y_1$．则 $\dfrac{Y_1X}{ZY_1}=\dfrac{EX}{QE}$．
设过点 $D$ 平行于 $AC$ 的直线与 $ZX$ 交于 $Y_2$．则 $\dfrac{Y_2X}{ZY_2}=\dfrac{PD}{ZD}$．
由式 ④ 得 $\dfrac{Y_1X}{ZY_1}=\dfrac{Y_2X}{ZY_2}$，即点 $Y_1$ 与 $Y_2$ 重合（即点 $Y$）．
故 $X、Y、Z$ 三点共线．
在 $\triangle AQX$ 和 $\triangle APZ$ 中分别运用梅涅劳斯定理有 $\dfrac{CX}{XE}\cdot\dfrac{EQ}{QB}\cdot \dfrac{BA}{AC}=1$ ①$\dfrac{AC}{CP}\cdot\dfrac{PD}{DZ}\cdot \dfrac{ZB}{BA}=1$ ②
又 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，则 $BH\perp AC$．
因为 $\angle DHE=90^\circ$，所以，$\angle HXA=\angle BHZ\triangleq \alpha$．
类似地 $\angle HZA=\angle CHX\triangleq \theta$．
则 $\dfrac{PC}{CX}=\dfrac{PH\sin\angle PHC}{HX\sin\theta}=\dfrac{PH}{HX}\cdot\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{\tan\alpha}{\tan\theta}$．
类似地，$\dfrac{BZ}{BQ}=\dfrac{\tan\alpha}{\tan\theta}$．
故 $\dfrac{PC}{CX}=\dfrac{BZ}{BQ},\dfrac{CX\cdot BZ}{BQ\cdot PC}=1$ ③
$ ① \times ② \times ③ $ 得 $\dfrac{QE\cdot PD}{EX\cdot DZ}=1\Rightarrow \dfrac{EX}{QE}=\dfrac{PD}{DZ}$ ④
设过点 $E$ 平行于 $AB$ 的直线与 $ZX$ 交于点 $Y_1$．则 $\dfrac{Y_1X}{ZY_1}=\dfrac{EX}{QE}$．
设过点 $D$ 平行于 $AC$ 的直线与 $ZX$ 交于 $Y_2$．则 $\dfrac{Y_2X}{ZY_2}=\dfrac{PD}{ZD}$．
由式 ④ 得 $\dfrac{Y_1X}{ZY_1}=\dfrac{Y_2X}{ZY_2}$，即点 $Y_1$ 与 $Y_2$ 重合（即点 $Y$）．
故 $X、Y、Z$ 三点共线．
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解析
备注
