如图，点 $P,A,B$ 在圆上，点 $Q$ 在圆的内部，使得 $\angle PAQ=90^\circ$，且 $PQ=BQ$．证明：$\angle AQB-\angle PQA=\overparen{AB}^\circ$．
【难度】
【出处】
2015年第二届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $M$ 为 $PB$ 的中点．则 $\angle PMQ=90^\circ$．又 $\angle PAQ=90^\circ$，于是，$A、P、Q、M$ 四点共圆
$\begin{aligned}
&\Rightarrow \angle APM=\angle AQM\\
& \angle AQB-\angle PQA＝\angle PQM+\angle AQM-\angle PQA \\
& =2\angle AQM=2\angle APB=\overparen{AB}^\circ
\end{aligned}$．
$\begin{aligned}
&\Rightarrow \angle APM=\angle AQM\\
& \angle AQB-\angle PQA＝\angle PQM+\angle AQM-\angle PQA \\
& =2\angle AQM=2\angle APB=\overparen{AB}^\circ
\end{aligned}$．
答案
解析
备注
