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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15315 59ba35d398483e0009c73104 高中 解答题 高中习题 求 $3\cos\dfrac{2\pi}5-\cos\dfrac{\pi}5$ 的值． 2022-04-17 19:32:12
15271 5c6a3ed1210b281db9f4c712 高中 解答题 自招竞赛 方程 ${{z}^{6}}+{{z}^{3}}+1=0$ 有一个复数根，在复平面上这个根的辐角 $\theta $ 在 $90{}^\circ $ 和 $180{}^\circ $ 之间，求 $\theta $ 的度数． 2022-04-17 19:11:12
15265 5c6a44b4210b281dbaa9336c 高中 解答题 自招竞赛 如果 $a$，$b$，$c$ 是正整数，满足 $c={{\left( a+b\text{i} \right)}^{3}}-107\text{i}$，求 $c$（其中 ${{\text{i}}^{2}}=-1$）． 2022-04-17 19:08:12
15245 5c6b70c7210b281db9f4c870 高中 解答题 自招竞赛 集合 $A=\left\{ z|{{z}^{18}}=1 \right\}$ 和 $B=\left\{ \omega |{{\omega }^{48}}=1 \right\}$ 都是1的单位根的集合，集合 $C=\left\{ z\omega |z\in A \omega \in B \right\}$ 也是一个1的单位根的集合，集合 $C$ 中有多少个不同的元素？ 2022-04-17 19:57:11
15241 5c6e0883210b281dbaa93581 高中 解答题 自招竞赛 已知方程 ${{x}^{10}}+{{\left( 13x-1 \right)}^{10}}=0$ 有10个复根 ${{r}_{1}}$，$\overline{{{r}_{1}}}$，${{r}_{2}}$，$\overline{{{r}_{2}}}$，${{r}_{3}}$，$\overline{{{r}_{3}}}$，${{r}_{4}}$，$\overline{{{r}_{4}}}$，${{r}_{5}}$，$\overline{{{r}_{5}}}$，${{r}_{i}}$ 与 $\overline{{{r}_{i}}}\left( i=1 2 3 4 5 \right)$ 互为共轭复根．求 $\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\frac{1}{{{r}_{2}}\overline{{{r}_{2}}}}+\frac{1}{{{r}_{3}}\overline{{{r}_{3}}}}+\frac{1}{{{r}_{4}}\overline{{{r}_{4}}}}+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}}$ 的值． 2022-04-17 19:55:11
15236 5c6e3bea210b281db9f4ca60 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 是方程 ${{z}^{6}}+{{z}^{4}}+{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+1=0$ 的有正虚部的那些根的乘积，并设 $P=r\left( \cos \theta {}^\circ +\text{i}\sin \theta {}^\circ \right)$，这里 $0<r$，$0\leqslant \theta <360{}^\circ $．求 $\theta $． 2022-04-17 19:52:11
15235 5c6f630d210b280151d749cb 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f\left( z \right)=\left( a+b\text{i} \right)z$ 是定义在复数集上的函数，其中 $a$，$b$ 均为正数．这个函数具有如下性质：复平面上任意一点的映象到该点与原点的距离相等．已知 $\left| a+b\text{i} \right|=8$ 且 ${{b}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15223 5c74b839210b284290fc233d 高中 解答题 自招竞赛 多项式 $P\left( x \right)={{\left( 1+x+{{x}^{2}}+\ldots +{{x}^{17}} \right)}^{2}}-{{x}^{17}}$ 有 $34$ 个复数根，它们可以写成
${{z}_{k}}={{r}_{k}}\left( \cos \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right)+\text{i}\sin \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{a}_{k}} \right) \right)$ 的形式，其中 $k=1 2 \ldots 34$，$0{{a}_{1}}\leqslant {{a}_{2}}\leqslant \ldots \leqslant {{a}_{34}}1$，${{r}_{k}}0$ 。设 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。		 2022-04-17 19:45:11
15221 5c74ddab210b284290fc23a9 高中 解答题 自招竞赛 设方程 ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4x=2005$ 的所有非实根的积为 $P$，求 $\left[ P \right]$（$\left[ P \right]$ 表示小于或等于 $P$ 的最大正整数）。 2022-04-17 19:45:11
15218 5c75f9a4210b284290fc24ab 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z$ 等于 $9+bi$，其中 $b$ 是一个正实数，${{i}^{2}}=-1$ 。．若 ${{z}^{\text{2}}}$ 和 ${{z}^{3}}$ 的虚部相同，求 $b$ 。 2022-04-17 19:43:11
15213 5c763c06210b28428f14cdfa 高中 解答题 自招竞赛 虚部为 $164$ 的复数 $z$ 的正整数 $n$ 满足 $\frac{z}{z+n}=4i$．求 $n$． 2022-04-17 19:40:11
15203 5c8efe92210b286d0745417b 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z$ 和 $w$ 满足 ${{z}^{13}}=w,{{w}^{11}}=z$，$z$ 的虚部为 $\sin \frac{m\pi }{n}$，其中 $m,n$ 为互质正整数且 $m<n$ 。求 $n$ 。 2022-04-17 19:33:11
15191 5c9c34b9210b280b2397ea3e 高中 解答题 自招竞赛 复数 $x\text{,}y\text{,}z$ 满足 $xy\text{=}-80-320i\text{,}yz\text{=}60\text{,}zx\text{=}-96+24i\text{,}i\text{=}\sqrt{1}$ 。 $x+y+z\text{=}a+bi$，$a\text{,}b$ 为实数。求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ 2022-04-17 19:27:11
15187 5c9d8109210b280b2397eb64 高中 解答题 自招竞赛 $\displaystyle \prod\limits_{k = 1}^{45} {{{\csc }^2}(2k -1)^\circ } = {m^n}$ 。其中 $m$ 和 $n$ 是大于1的正整数。求 $m + n$ 。 2022-04-17 19:25:11
14994 603efe5725bdad000ac4d7f8 高中 解答题 自招竞赛 已知复数 $z_1,z_2,z_3$ 的辐角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $|z_1|=1, |z_2|+|z_3|=2, z_1+z_2+z_3=0$．试求 $\cos(\alpha-\beta)+2\cos(\beta-\gamma)+3\cos (\gamma-\alpha)$ 的取值范围． 2022-04-17 19:37:09
14986 620df94dea59ab000a73d538 高中 解答题 高中习题 设 $a\geqslant 0$，在复数集 $\mathbb{C}$ 中解方程$$z^2+2|z|=a.$$ 2022-04-17 19:34:09
14904 5912ba38e020e70007fbee7a 高中 解答题 自招竞赛 已知 $|z| = 1$，$k$ 是实数，$z$ 是复数，求 $\left| {{z^2} + kz + 1} \right|$ 的最大值． 2022-04-17 19:47:08
14903 59094956060a05000b3d1f70 高中 解答题 自招竞赛 已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1$ 与 $z_1+z_2$ 有相同的模且 $\overline{z_1}z_2=a(1-\mathrm i)$，其中 $a$ 为非零实数，求 $\dfrac{z_2}{z_1}$ 的值． 2022-04-17 19:47:08
14902 590c19ced42ca7000a7e7e67 高中 解答题 高中习题 设方程 $x^6+x^4+x^3+x^2+1=0$ 的所有虚部为正数的复根的乘积为 $z$，求 $z$ 的值（写成三角形式）． 2022-04-17 19:47:08
14901 5c77699b210b284290fc25e2 高中 解答题 自招竞赛 设 $P\left( z \right)={{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为实数，已知存在一个复数 $w$，使得 $P\left( z \right)$ 的三个根是 $w+3i$，$w+9i$ 和 $2w-4$，其中 ${{i}^{2}}=-1$，求 $\left| a+b+c \right|$ 的值。 2022-04-17 19:46:08
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