已知复数 $z_1,z_2,z_3$ 的辐角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $|z_1|=1, |z_2|+|z_3|=2, z_1+z_2+z_3=0$．试求 $\cos(\alpha-\beta)+2\cos(\beta-\gamma)+3\cos (\gamma-\alpha)$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(22)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $z_2=-(z_1-z_3)$，得 $|z_1+z_3|=|z_2|=2-|z_3|$．又$$|z_3|-|z_1|\leqslant |z_1+z_3|\leqslant |z_1|+|z_3|,$$即$$|z_3|-1\leqslant 2-|z_3|\leqslant 1+|z_3|.$$解得 $\frac{1}{2}\leqslant |z_3|\leqslant \frac{3}{2}$．同理，$\frac{1}{2}\leqslant |z_2|\leqslant \frac{3}{2}$．
设 $|z_2|=k, |z_3|=2-k$，则由 $z_1+z_2+z_3=0$，得$$\left\{\begin{aligned}&\cos\alpha+k\cos\beta+(2-k)\cos\gamma=0,\\ &\sin\alpha+k\sin\beta+(2-k)\sin\gamma=0.\\ \end{aligned}\right.$$由 $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$，消去 $\alpha$ 并整理，得$$\cos(\beta-\gamma)=\frac{2k^2-4k+3}{2k(k-2)}.$$同理，$cos(\gamma-\alpha) =\frac{5-4k}{2(k-2)}, \cos(\alpha-\beta)=\frac{3-4k}{2k}$．从而$$\cos(\alpha-\beta)+2\cos(\beta-\gamma)+3\cos(\gamma-\alpha)=-6-\frac{3}{k-2}.$$结合 $k\in\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 可知上式的取值范围是 $[-4,0]$．
设 $|z_2|=k, |z_3|=2-k$，则由 $z_1+z_2+z_3=0$，得$$\left\{\begin{aligned}&\cos\alpha+k\cos\beta+(2-k)\cos\gamma=0,\\ &\sin\alpha+k\sin\beta+(2-k)\sin\gamma=0.\\ \end{aligned}\right.$$由 $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$，消去 $\alpha$ 并整理，得$$\cos(\beta-\gamma)=\frac{2k^2-4k+3}{2k(k-2)}.$$同理，$cos(\gamma-\alpha) =\frac{5-4k}{2(k-2)}, \cos(\alpha-\beta)=\frac{3-4k}{2k}$．从而$$\cos(\alpha-\beta)+2\cos(\beta-\gamma)+3\cos(\gamma-\alpha)=-6-\frac{3}{k-2}.$$结合 $k\in\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 可知上式的取值范围是 $[-4,0]$．
答案
解析
备注
