虚部为 $164$ 的复数 $z$ 的正整数 $n$ 满足 $\frac{z}{z+n}=4i$．求 $n$．
【难度】
【出处】
2009年第27届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
697
【解析】
设 $z=a+bi$，则 $a+bi=z=\left( z+n \right)4i=-4b+4i\left( a+n \right)$．故 $a=-4b$，$b=4\left( a+n \right)=4\left( n-4b \right)$．可求得 $n=\frac{b}{4}+4b=\frac{164}{4}+4\cdot 164=697$．
答案
解析
备注
