设 $P\left( z \right)={{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为实数，已知存在一个复数 $w$，使得 $P\left( z \right)$ 的三个根是 $w+3i$，$w+9i$ 和 $2w-4$，其中 ${{i}^{2}}=-1$，求 $\left| a+b+c \right|$ 的值。
【难度】
【出处】
2010年第28届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
136
【解析】
令 $w=x+yi$，其中 $x$ 和 $y$ 为实数。因为 $a$ 是实数且 $P\left( z \right)$ 的三个根之和为 $-a$，由此可得 $\operatorname{Im}\left( \left( w+3i \right)+\left( w+9i\right)+\left( 2w-4 \right) \right)=0$，也就是 $y+3+y+9+2y=0$，得到：$y=-3$ 。所以这三个根为 $x$，$x+6i$ 和 $2x-4-6i$ 。因为 $P\left( z \right)$ 的系数是实数，所以复根是成共轭对出现的，从而 $x=2x-4$，得到 $x=4$ 。所以
$P\left( z \right)=\left( z-4 \right)\left(z-\left( 4+6i \right) \right)\left( z-\left( 4-6i \right) \right)$，
$1+a+b+c=P\left( 1 \right)=\left( -3\right)\left( -3-6i \right)\left( -3+6i \right)=-135$ 。
由此可得 $\left| a+b+c \right|=\left| -135-1 \right|=136$ 。事实上，这样的多项式是存在的：
$P\left( z \right)={{z}^{3}}-12{{z}^{2}}+84z-208$ 的三个根 $4 ,4\pm 6i$ 和 $w=4-9i$ 符合题目的条件。
$P\left( z \right)=\left( z-4 \right)\left(z-\left( 4+6i \right) \right)\left( z-\left( 4-6i \right) \right)$，
$1+a+b+c=P\left( 1 \right)=\left( -3\right)\left( -3-6i \right)\left( -3+6i \right)=-135$ 。
由此可得 $\left| a+b+c \right|=\left| -135-1 \right|=136$ 。事实上，这样的多项式是存在的：
$P\left( z \right)={{z}^{3}}-12{{z}^{2}}+84z-208$ 的三个根 $4 ,4\pm 6i$ 和 $w=4-9i$ 符合题目的条件。
答案
解析
备注
