复数 $z$ 和 $w$ 满足 ${{z}^{13}}=w,{{w}^{11}}=z$，$z$ 的虚部为 $\sin \frac{m\pi }{n}$，其中 $m,n$ 为互质正整数且 $m<n$ 。求 $n$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
071
【解析】
将第一个等式带入第二个，${{\left( {{z}^{13}} \right)}^{11}}\text{=}z\to {{z}^{143}}\text{=}z$ 。因为 $z\ne0\text{,}{{z}^{142}}\text{=}1$ 。故 $z$ 的虚部为 $\sin \frac{2k\pi }{142}\text{=}\sin\frac{k\pi }{71}\text{,}k\in \left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}70\right\}$ 。因为 $71$ 为质数，$n\text{=}071$
答案
解析
备注
