设方程 $x^6+x^4+x^3+x^2+1=0$ 的所有虚部为正数的复根的乘积为 $z$，求 $z$ 的值（写成三角形式）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \cos\dfrac{23\pi}{15}+{\rm i}\sin\dfrac{23\pi}{15} $
【解析】
观察次数，可得方程等价于$$x^3+x+1+\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^3}=0,$$也即$$\left(x+\dfrac 1x\right)^3-2\left(x+\dfrac 1x\right)+1=0,$$也即$$\left(x+\dfrac 1x-1\right)\left[\left(x+\dfrac 1x\right)^2+\left(x+\dfrac 1x\right)-1\right]=0,$$也即$$\left(x^2-x+1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0,$$因此该方程的所有复数根为方程$$\left(x^3+1\right)\left(x^5-1\right)=0$$的所有虚根，为$$\begin{split} &\cos\dfrac{\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{\pi}3,\cos\dfrac{5\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{5\pi}3,\\&\cos\dfrac{2\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{2\pi}5,\cos\dfrac{4\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{4\pi}5,\\&\cos\dfrac{6\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{6\pi}5,\cos\dfrac{8\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{8\pi}5,\end{split} $$进而可得$$z=\cos\left(\dfrac{\pi}3+\dfrac{2\pi}5+\dfrac{4\pi}5\right)+{\rm i}\sin\left(\dfrac{\pi}3+\dfrac{2\pi}5+\dfrac{4\pi}5\right)=\cos\dfrac{23\pi}{15}+{\rm i}\sin\dfrac{23\pi}{15}.$$
答案
解析
备注
