已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1$ 与 $z_1+z_2$ 有相同的模且 $\overline{z_1}z_2=a(1-\mathrm i)$，其中 $a$ 为非零实数，求 $\dfrac{z_2}{z_1}$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年北京大学全国优秀中学生暑期夏令营试题
【标注】
【答案】
$-1+{\mathrm i}$
【解析】
由题意知$$|z_{1}|^2=z_1\overline{z_1}=|z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}),$$化简得$$z_2\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}=0.$$因为 $\overline{z_1}z_2=a(1-{\mathrm i})$，所以 $z_1\overline{z_2}=a(1+{\mathrm i})$，代入上面的式子得 $z_2\overline{z_2}=-2a$．于是有$$\dfrac {z_2}{z_1}=\dfrac {z_2\overline{z_2}}{z_1\overline{z_2}}=\dfrac {-2a}{a(1+{\mathrm i})}=-1+{\mathrm i}.$$
答案
解析
备注
