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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20445 5c9996c0210b280b2256bfae 高中 解答题 自招竞赛 ${{z}_{1}}\text{=}18+83i\text{,}{{z}_{2}}\text{=}18+39i\text{,}{{z}_{3}}\text{=}78+99i\text{,}i\text{=}\sqrt{-1}$ 。对使得 $\frac{{{z}_{3}}-{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}\text{.}\frac{z-{{z}_{2}}}{z-{{z}_{3}}}$ 为实数的复数 $z$，找出其中虚部的最大的一个，求其实部的值 2022-04-17 19:51:59
20419 5c9c2c88210b280b2256c088 高中 解答题 自招竞赛 $N$ 是满足 $\left| z \right|\text{=}1\text{,}{{z}^{6\text{!}}}-{{z}^{5\text{!}}}$ 为实数的复数 $z$ 的个数。求 $N$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:37:59
20291 5c8f5678210b286d074541d6 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z\text{,}w$ 满足 $z+\frac{20i}{w}\text{=}5+i,w+\frac{12i}{z}\text{=}-4+10i$ 。求 ${{\left| zw \right|}^{2}}$ 最小值 2022-04-17 19:26:58
19775 5c8f566d210b286d125ef38d 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z\text{=}a+bi$ 满足 $\left| z \right|\text{=}5,b>0$，且使得复平面上两 $m\text{,}n$ 点 $\left( 1+2i \right){{z}^{3}}$ 和 ${{z}^{5}}$ 距离达到最大。令 ${{z}^{4}}\text{=}c+di$ 。求 $c+d$ 。 2022-04-17 19:35:53
17306 5c76209e210b28428f14cde1 高中 解答题 自招竞赛 边长为1的正六边形中心在复平面上的坐标原点，其中一组对边乎行于虚轴，设 $R$ 表示此六边形外部区域，令\[S=\left\{ \left. \frac{1}{z} \right|z\in \mathbf{R} \right\}\]，$S$ 的面积可以表示 $a\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\sqrt{b}$ 的形式，其中 $a$，$b$ 为正整数，求 $a+b$ 的值． 2022-04-17 19:06:31
16049 601b636725bdad0009f73f9f 高中 解答题 自招竞赛 设复数集$$V=\{\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i, \frac{1}{\sqrt{8}}(1+i), \frac{1}{\sqrt{8}}(-1+i),\frac{1}{\sqrt{8}}(1-i),\frac{1}{\sqrt{8}}(-1-i)\}.$$对任意 $1\leqslant j\leqslant 12$，复数 $z_j$ 的值从 $V$ 中等可能地随机选取，且所有 $z_j$ 的取值都是互相独立的．记 $\displaystyle P=\prod^{12}_{j=1}z_j$，试求 $P=-1$ 的概率． 2022-04-17 19:16:19
15993 5c987b9e210b280b2397e885 高中 解答题 自招竞赛 求满足条件的有序整数数对 $\left( a\text{,}b \right)$ 的个数，使得复数 $\dfrac{\sqrt{ab+2016}}{ab+100}-\left( \dfrac{\sqrt{\left| a+b \right|}}{ab+100} \right)i$ 为一实数。 2022-04-17 19:45:18
15928 59263e50ee79c2000874a0cf 高中 解答题 高中习题 求证：$\cos{\dfrac{\pi}{2n+1}}\cos{\dfrac{2\pi}{2n+1}}\cdots\cos{\dfrac{2n\pi}{2n+1}}=\dfrac{(-1)^n}{2^{2n}}$，其中 $n\in \mathbb{N}$． 2022-04-17 19:09:18
15900 603e0c4825bdad0009f74239 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha,\beta$ 是不等于 $0$ 的复数，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的辐角主值不相同．证明：$\left|\frac{|\alpha|\beta-\alpha|\alpha\beta|}{\beta|\alpha|-\alpha|\beta|}\right|\geqslant \frac{1+|\alpha|}{2}$． 2022-04-17 19:53:17
15739 5909773f39f91d0009d4bfd5 高中 解答题 高中习题 求证：$\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{\pi}{2n+1}}+\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{2\pi}{2n+1}}+\cdots +\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{2n\pi}{2n+1}}=\dfrac 43n(n+1)$． 2022-04-17 19:30:16
15678 590c250f857b4200092b065c 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\displaystyle \dfrac{{\prod\limits_{k = 1}^{2m} {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^{2n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 1}^m {\left( {1 - {x^k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 - {x^k}} \right) \cdot \prod\limits_{k = 1}^{m + n} {\left( {1 - {x^k}} \right)} } }}$ 为关于 $x$ 的整系数多项式． 2022-04-17 19:56:15
15660 591006f7857b420007d3e613 高中 解答题 自招竞赛 设 ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ 是复平面单位圆上的四点，若 ${z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4} = 0$．求证：这四个点组成一个矩形． 2022-04-17 19:46:15
15652 59111e5440fdc7000841c76e 高中 解答题 自招竞赛 设复数 ${z_1} , {z_2}$ 满足：$\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|$，$\overline{z_1}z_2=a(1+\sqrt 3{\mathrm i})$，其中 ${\mathrm{i}}$ 是虚数单位，$a$ 是非零实数，求 $\dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$． 2022-04-17 19:41:15
15645 59118479e020e70007fbeb37 高中 解答题 自招竞赛 已知 $|z| = 1$，求 $|{z^2} + z + 4|$ 的最小值． 2022-04-17 19:36:15
15580 59369535c2b4e70009388258 高中 解答题 高中习题 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $\left|z^3-3z-2\right|$ 的取值范围． 2022-04-17 19:57:14
15577 5948c6ead37330000a1658ab 高中 解答题 高中习题 证明：$\dfrac{\pi}4=4\arctan \dfrac 15-\arctan\dfrac{1}{239}$． 2022-04-17 19:55:14
15553 596315c63cafba0007613104 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 三个内角的度数满足 $\dfrac AB=\dfrac BC=\dfrac 13$，求 $T=\cos A+\cos B+\cos C$ 的值． 2022-04-17 19:43:14
15417 597e8059d05b90000b5e304b 高中 解答题 高中习题 已知 $z_1,z_2,z_3\in{\mathbb C}$，$a,b,c\in{\mathbb R}$，满足 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=1$，且 $\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1}=1$，求 $\left|az_1+bz_2+cz_3\right|$ 的所有可能取值． 2022-04-17 19:29:13
15413 597e8cd3d05b90000b5e3097 高中 解答题 高中习题 利用方程 ${z^n} = 1$ 的复数根的特点，证明：$$\begin{split}\cos {\theta _0} + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cdots + \cos \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2\left( {n - 1} \right){\rm{\pi }}}}{n}} \right) = 0,
\\\sin {\theta _0} + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{n}} \right) + \cdots + \sin \left( {{\theta _0} + \dfrac{{2\left( {n - 1} \right){\rm{\pi }}}}{n}} \right) = 0.\end{split}$$		 2022-04-17 19:27:13
15322 59b7323cb049650007283188 高中 解答题 自招竞赛 设复数 $z_1,z_2$ 满足 ${\rm Re}(z_1)>0,{\rm Re}(z_2)>0$，且 ${\rm Re}(z_1^2)={\rm Re}(z_2^2)=2$，其中 ${\rm Re}(z)$ 表示复数 $z$ 的实部． 2022-04-17 19:37:12
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