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设 $\alpha,\beta$ 是不等于 $0$ 的复数，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的辐角主值不相同．证明：$\left|\frac{|\alpha|\beta-\alpha|\alpha\beta|}{\beta|\alpha|-\alpha|\beta|}\right|\geqslant \frac{1+|\alpha|}{2}$．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(20)
【标注】
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【答案】
略
【解析】
只要证明$$\frac{\left|\frac{\beta}{|\beta|}-\alpha\right|}{\left|\frac{\beta}{|\beta|}-\frac{\alpha}{|\alpha|}\right|}\geqslant \frac{1+|\alpha|}{2}.$$于是，只要证明，当 $|z| =1$ 时，有$$\frac{|z-\alpha|}{\left|z-\frac{\alpha}{|\alpha|}\right|}\geqslant \frac{1+|\alpha|}{2}.$$当 $|\alpha|=1$ 时，式 $ ① $ 显然成立．
当 $|\alpha|\neq 1$ 时，设 $z,\alpha,\frac{\alpha}{|\alpha|}$ 对应复平面上的点 $A, B, C$，则 $A, C$ 在单位圆上．
设 $O$ 为坐标原点，$D$ 为点 $C$ 在 $\odot O$ 上的对径点，则$$AB=|z-\alpha|, AC=\left|z-\frac{\alpha}{|\alpha|}\right|, CD=2, BD=1+|\alpha|.$$于是，式 ① 等价于$$\frac{BD}{CD}\leqslant \frac{AB}{AC}.$$作 $\angle BAC$ 的外角平分线 $AE$，当 $|\alpha|>1$ 时，有$$\angle CAE=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}<\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}=\angle CAD.$$所以点 $E$ 在线段 $CD$ 上，如图所示．则$$\frac{BD}{CD}=\frac{BC+CD}{CD}=1+\frac{BC}{CD}\leqslant 1+\frac{BC}{CD}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}.$$当 $|\alpha|<1$ 时，有$$\angle FAE=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}<\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}=\angle FAD.$$|
所以点 $E$ 在线段 $CD$ 的延长线上，如第二个图所示．则$$\frac{BD}{CD}=\frac{CD-BC}{CD}=1-\frac{BC}{CD}\leqslant 1-\frac{BC}{CE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}.$$所以式 $ ① $ 成立．
在式 ① 中，令 $z =\frac{\beta}{|\beta|}$ 原不等式获证．
答案 解析 备注
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