求证：$\cos{\dfrac{\pi}{2n+1}}\cos{\dfrac{2\pi}{2n+1}}\cdots\cos{\dfrac{2n\pi}{2n+1}}=\dfrac{(-1)^n}{2^{2n}}$，其中 $n\in \mathbb{N}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $\omega_k=\cos{\dfrac{2k\pi}{2n+1}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{2k\pi}{2n+1}}, k=1,2,\cdots,2n$，则有$$\left(x-\omega_1\right)\left(x-\omega_2\right)\cdots\left(x-\omega_{2n}\right)=\dfrac{x^{2n+1}-1}{x-1},$$令 $x=-1$，得$$\left(1+\omega_1\right)\left(1+\omega_2\right)\cdots\left(1+\omega_{2n}\right)=1,$$而 $1+\omega_{k}=2\cos{\dfrac{k\pi}{2n+1}}\left(\cos{\dfrac{k\pi}{2n+1}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{k\pi}{2n+1}}\right)$，所以 $\left|1+\omega_k\right|=2\left|\cos{\dfrac{k\pi}{2n+1}}\right|$ 因此$$2^{2n}\left|\cos{\dfrac{\pi}{2n+1}}\cos{\dfrac{2\pi}{2n+1}}\cdots\cos{\dfrac{2n\pi}{2n+1}}\right|=1,$$故 $\left|\cos{\dfrac{\pi}{2n+1}}\cos{\dfrac{2\pi}{2n+1}}\cdots\cos{\dfrac{2n\pi}{2n+1}}\right|=\dfrac{1}{2^{2n}}$．再根据 $2n$ 项因式中恰有 $n$ 项的角度在 $(\frac{\pi}{2},\pi)$ 之间．故乘积的符号由 $n$ 确定，$n$ 为偶数时乘积为正，$n$ 为奇数时乘积为负．
答案
解析
备注
