边长为1的正六边形中心在复平面上的坐标原点，其中一组对边乎行于虚轴，设 $R$ 表示此六边形外部区域，令\[S=\left\{ \left. \frac{1}{z} \right|z\in \mathbf{R} \right\}\]，$S$ 的面积可以表示 $a\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\sqrt{b}$ 的形式，其中 $a$，$b$ 为正整数，求 $a+b$ 的值．
【难度】
【出处】
2008年第26届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
29
【解析】
六边形的一条边上顶点的坐标为 $\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2\sqrt{3}}i$，故这条边可以用 $z=\frac{1}{2}+yi$，$\left|y \right|\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}$ 来表示，这条边上点的倒数为 $\frac{\frac{1}{2}-yi}{\frac{1}{4}+{{y}^{2}}}$，$\left| y \right|\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}$．
注意到 ${{\left|\frac{1}{z}-1 \right|}^{2}}={{\left|\frac{\frac{1}{4}-{{y}^{2}}}{\frac{1}{4}+{{y}^{2}}}+\frac{-y}{\frac{1}{4}+{{y}^{2}}}i\right|}^{2}}=\frac{{{\left( \frac{1}{4}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{\left(\frac{1}{4}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=1$，故这条线段上点的倒数的轨迹是圆心为 $\left(1 0 \right)$，半径为1的圆弧，圆弧端点是 $\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 和 $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．圆弧两个端点与原点的连线加上圆弧本身围成的区域可以分解成一个半径长为1的 $120{}^\circ $ 圆弧和两个三角形，每一个三角底边长为1，高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此它的面积为 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．然后再乘以6得总面积为 $2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+3\sqrt{3}=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}+\sqrt{27}$，因此 $a+b=29$．
注意到 ${{\left|\frac{1}{z}-1 \right|}^{2}}={{\left|\frac{\frac{1}{4}-{{y}^{2}}}{\frac{1}{4}+{{y}^{2}}}+\frac{-y}{\frac{1}{4}+{{y}^{2}}}i\right|}^{2}}=\frac{{{\left( \frac{1}{4}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{\left(\frac{1}{4}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=1$，故这条线段上点的倒数的轨迹是圆心为 $\left(1 0 \right)$，半径为1的圆弧，圆弧端点是 $\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 和 $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．圆弧两个端点与原点的连线加上圆弧本身围成的区域可以分解成一个半径长为1的 $120{}^\circ $ 圆弧和两个三角形，每一个三角底边长为1，高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此它的面积为 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．然后再乘以6得总面积为 $2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+3\sqrt{3}=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}+\sqrt{27}$，因此 $a+b=29$．
答案
解析
备注
