三角形 $ABC$ 三个内角的度数满足 $\dfrac AB=\dfrac BC=\dfrac 13$，求 $T=\cos A+\cos B+\cos C$ 的值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt{13}}{4}$
【解析】
根据题意，有\[A=\dfrac{\pi}{13},B=\dfrac{3\pi}{13},C=\dfrac{9\pi}{13}.\]记 $x_k=\cos\dfrac{k\pi}{13}$，$k\in\mathbb N$，则\[T=x_1+x_3+x_9=-\left(x_{12}+x_{10}+x_4\right).\]考虑到\[\begin{split}T^2&=(x_1+x_3+x_9)^2\\
&=\dfrac 32+\dfrac 12(x_2+x_6+x_{18})+x_2+x_4+x_6+x_{12}+x_8+x_{10}\\
&=\dfrac 32+\dfrac 12(x_2+x_6+x_8)+x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}.\end{split}\]根据单位根的性质，有\[x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}=-\dfrac 12,\]因此\[T^2=\dfrac 32+\dfrac 12\left(-\dfrac 12+T\right)-\dfrac 12,\]即\[4T^2-2T-3=0,\]考虑到 $T>0$，于是解得\[T=\dfrac{1+\sqrt{13}}4.\]
&=\dfrac 32+\dfrac 12(x_2+x_6+x_{18})+x_2+x_4+x_6+x_{12}+x_8+x_{10}\\
&=\dfrac 32+\dfrac 12(x_2+x_6+x_8)+x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}.\end{split}\]根据单位根的性质，有\[x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}=-\dfrac 12,\]因此\[T^2=\dfrac 32+\dfrac 12\left(-\dfrac 12+T\right)-\dfrac 12,\]即\[4T^2-2T-3=0,\]考虑到 $T>0$，于是解得\[T=\dfrac{1+\sqrt{13}}4.\]
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