设复数集$$V=\{\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i, \frac{1}{\sqrt{8}}(1+i), \frac{1}{\sqrt{8}}(-1+i),\frac{1}{\sqrt{8}}(1-i),\frac{1}{\sqrt{8}}(-1-i)\}.$$对任意 $1\leqslant j\leqslant 12$，复数 $z_j$ 的值从 $V$ 中等可能地随机选取，且所有 $z_j$ 的取值都是互相独立的．记 $\displaystyle P=\prod^{12}_{j=1}z_j$，试求 $P=-1$ 的概率．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
略
【解析】
将集合 $V$ 中的元素用指数形式表示，即$$V=\{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}},\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{2}},\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{4}},\frac{1}{2}e^{i\frac{3\pi}{4}},\frac{1}{2}e^{i\frac{5\pi}{4}},\frac{1}{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}\},$$并记 $V_1=\{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}},\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{2}}\}, V_2=\{\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}, \frac{1}{2}e^{i\frac{3\pi}{4}},\frac{1}{2}e^{i\frac{5\pi}{4}},\frac{1}{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}\}$，则 $V_1\cup
V_2=V, V_1\cap V_2=\emptyset$．
从 $V$ 中依次选取 $z_1,z_2,\ldots,z_{12}$，共有 $6^{12}$ 种不同的选取方法．
设 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$）中有 $n$ 个取自 $V_1$，则由 $|P|=1$，知 $\left(\sqrt{2}\right)^n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12-n}=1$，解得 $n=8$．从而，共有 $C_{12}^8=C_{12}^{4}$ 种方式确定 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$）分别取自 $V_1,V_2$ 中的哪个集合．
下面只需要考虑这些复数的辐角，使得从 $V_1$ 中可重复地选取 $8$ 个元素，从 $V_2$ 中可重复地选取 $4$ 个元素，它们的乘积的辐角恰为 $\pi$ 的奇数倍．从 $V_2$ 中任取 $4$ 个元素，其乘积的辐角是 $\frac{\pi}{2}$ 的整数倍；而从 $V_1$ 中任取 $8$ 个元素，其乘积的辐角是 $\pi$ 的整数倍．为使全部 $12$ 个元素的乘积辐角是 $\pi$ 的奇数倍，$V_2$ 中所取元素的乘积应是 $\pi$ 的整数倍（即 $\frac{\pi}{2}$ 的偶数倍）．此时，前 $3$ 个元素可以任意选取，而最后一个元素恰有两种选法可以保证所取的 $4$ 个元素的乘积的辐角是 $\pi$ 的整数倍，即共有 $4^3\times 2$ 种选法．若 $V_2$ 中所取元素的乘积是 $\pi$ 的奇（偶）数倍，则 $V_1$ 中所取元素应是 $\pi$ 的偶（奇）数倍．此时，前 $7$ 个元素可以任意选取，而最后一个元素恰有一种选法可以保证所取的 $8$ 个数的乘积的辐角符合要求，即共有 $2^7$ 种选法．
综上所述，满足 $P=-1$ 的 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$）的选法共有 $C_{12}^4\times 4^3\times 2\times 2^7$ 种．因此，所求概率为$$\frac{C_{12}^{4}\times 4^3\times 2\times 2^7}{6^{12}}=\frac{2^2\times 5\times 11}{3^{10}}=\frac{220}{3^{10}}.$$
V_2=V, V_1\cap V_2=\emptyset$．
从 $V$ 中依次选取 $z_1,z_2,\ldots,z_{12}$，共有 $6^{12}$ 种不同的选取方法．
设 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$）中有 $n$ 个取自 $V_1$，则由 $|P|=1$，知 $\left(\sqrt{2}\right)^n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12-n}=1$，解得 $n=8$．从而，共有 $C_{12}^8=C_{12}^{4}$ 种方式确定 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$）分别取自 $V_1,V_2$ 中的哪个集合．
下面只需要考虑这些复数的辐角，使得从 $V_1$ 中可重复地选取 $8$ 个元素，从 $V_2$ 中可重复地选取 $4$ 个元素，它们的乘积的辐角恰为 $\pi$ 的奇数倍．从 $V_2$ 中任取 $4$ 个元素，其乘积的辐角是 $\frac{\pi}{2}$ 的整数倍；而从 $V_1$ 中任取 $8$ 个元素，其乘积的辐角是 $\pi$ 的整数倍．为使全部 $12$ 个元素的乘积辐角是 $\pi$ 的奇数倍，$V_2$ 中所取元素的乘积应是 $\pi$ 的整数倍（即 $\frac{\pi}{2}$ 的偶数倍）．此时，前 $3$ 个元素可以任意选取，而最后一个元素恰有两种选法可以保证所取的 $4$ 个元素的乘积的辐角是 $\pi$ 的整数倍，即共有 $4^3\times 2$ 种选法．若 $V_2$ 中所取元素的乘积是 $\pi$ 的奇（偶）数倍，则 $V_1$ 中所取元素应是 $\pi$ 的偶（奇）数倍．此时，前 $7$ 个元素可以任意选取，而最后一个元素恰有一种选法可以保证所取的 $8$ 个数的乘积的辐角符合要求，即共有 $2^7$ 种选法．
综上所述，满足 $P=-1$ 的 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$）的选法共有 $C_{12}^4\times 4^3\times 2\times 2^7$ 种．因此，所求概率为$$\frac{C_{12}^{4}\times 4^3\times 2\times 2^7}{6^{12}}=\frac{2^2\times 5\times 11}{3^{10}}=\frac{220}{3^{10}}.$$
答案
解析
备注
