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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
12571 599165c12bfec200011e006f 高中 填空题 高考真题 已知向量 $\overrightarrow {AB} $ 与 $\overrightarrow {AC} $ 的夹角为 $120^\circ $，且 $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3$，$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2$．若 $\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $，且 $\overrightarrow {AP} \perp \overrightarrow {BC} $，则实数 $\lambda $ 的值为 ． 2022-04-16 22:18:41
12203 6007a4bf8874860009b91f10 高中 填空题 自招竞赛 设 $a,b\in\mathbb{C}$．若 $a+2\overline{b}=i, \overline{a}\cdot \overline{b}=-5-i$，则 $|a|^2$ 的值是 ． 2022-04-16 22:58:37
12200 6007a52b8874860009b91f1e 高中 填空题 自招竞赛 已知直线 $l:y=kx$ 与椭圆 $(x-3)^2+5y^2=5$ 相交于 $A,B$ 两点，且以 $AB$ 为直径的圆经过该椭圆的左焦点．则实数 $k$ 的值是 ． 2022-04-16 22:56:37
12199 6007a5468874860009b91f24 高中 填空题 自招竞赛 已知平面向量 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 满足 $|\overrightarrow{e_1}|=|\overrightarrow{e_2}|=1, \overrightarrow{e_1}\perp \overrightarrow{e_2}$．若对任何平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，都有$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2\geqslant (t-2)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{e_2})(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e_1}),$$则实数 $t$ 的最大值是 ． 2022-04-16 22:56:37
12187 6007df2c887486000a487943 高中 填空题 自招竞赛 给定点 $A(0,1), B(0,-1), C(1,0)$．若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}|^2$，则 $|2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}|$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:49:37
12185 6008f431887486000a4879a9 高中 填空题 自招竞赛 已知向量集合 $M=\{\overrightarrow{a}~|~\overrightarrow{a}=(-1,1)+x(1,2), x\in\mathbb{R}\}, N=\{\overrightarrow{a}~|~\overrightarrow{a}=(1,-2)+x(2,3), x\in\mathbb{R}\}$．则 $M\cap N=$  ． 2022-04-16 22:48:37
12175 600a34ecba458b000aa6aa97 高中 填空题 自招竞赛 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=AA_1=2, AD=2\sqrt{3}$，$M$ 为平面 $BA_1C_1$ 内一点，则 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$ 的最小值是 ． 2022-04-16 22:42:37
12170 600a86dcba458b0009a55dc4 高中 填空题 自招竞赛 设单位向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为锐角．若对于任意的 $(x,y)\in \{(x,y)~|~|x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}|=1, xy\geqslant 0,x,y\in\mathbb{R}\}$，都有 $|x+2y|\leqslant\frac{8}{\sqrt{15}}$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:39:37
12167 5a0d4d60aaa1af00079ca944 高中 填空题 高中习题 设 $D$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，三角形 $DBC,DCA,DAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$，且 $S_1:S_2:S_3=\tan A:\tan B:\tan C$，$DA=DB=DC=2$，动点 $P,M$ 满足 $AP=1$，$M$ 为 $PC$ 的中点，则 $BM$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:38:37
12166 600f8fa2ba458b000b13fb10 高中 填空题 高中习题 wegwegwegwegqwegqweg 2022-04-16 22:37:37
12132 601a449825bdad000ac4d354 高中 填空题 自招竞赛 若平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 满足 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=1$，则 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$ 的最小值是 ． 2022-04-16 22:18:37
12131 601b5c9225bdad000ac4d38d 高中 填空题 自招竞赛 将向量 $\overrightarrow{OA}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到向量 $\overrightarrow{OB}$．若 $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(7,9)$，则向量 $\overrightarrow{OB}=$  ． 2022-04-16 22:17:37
12111 601f8b4625bdad000ac4d42d 高中 填空题 自招竞赛 已知双曲线 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一条渐近线为 $l$，$\odot C: (x-a)^2+y^2=8$ 与 $l$ 交于 $A,B$ 两点．若 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，且 $\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中 $O$ 为坐标原点），则双曲线 $\Gamma$ 的离心率为 ． 2022-04-16 22:07:37
12110 601f8bc225bdad0009f7401d 高中 填空题 自招竞赛 若非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2$，则 $|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|$ 的最大值为 ． 2022-04-16 22:06:37
12082 601128c425bdad0009f73e76 高中 填空题 自招竞赛 若两个非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$，且 $(\overrightarrow{a}
+\overrightarrow{b})\perp (\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})$，则 $\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=$  ．		 2022-04-16 22:50:36
12077 602e045925bdad000ac4d51f 高中 填空题 自招竞赛 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$A,B,C$ 是直角坐标平面上共线的三点，且它们所在的直线不经过坐标原点．若 $\overrightarrow{OB}=a_1\overrightarrow{OA}+a_{2017}\overrightarrow{OC}$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2017$ 项的和为 ． 2022-04-16 22:48:36
12070 602e076925bdad000ac4d549 高中 填空题 自招竞赛 在双曲线 $xy=1$ 上，横坐标为 $\frac{n}{n+1}$ 的点为 $A_n$，横坐标为 $\frac{n+1}{n}$ 的点为 $B_n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．记坐标为 $(1,1)$ 的点为 $M$，$P_n(x_n,y_n)$ 是 $\triangle A_nB_nM$ 的外心．则 $x_1+x_2+\ldots+x_{100}=$  ． 2022-04-16 22:45:36
11991 603deeaf25bdad000ac4d6b4 高中 填空题 自招竞赛 已知平面内三点 $A,B,C$ 满足 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{33}, |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{67}, |\overrightarrow{CA}|=10$，则 $\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}}$ 的值为 ． 2022-04-16 22:05:36
11979 603dfaca25bdad000ac4d6f0 高中 填空题 自招竞赛 已知 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ 是不共线的非零向量，设 $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{1+r}\overrightarrow{OA}+\frac{r}{1+r}\overrightarrow{OB}$，定义点集$$M=\left\{K~|~\frac{\overrightarrow{KA}\cdot \overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KA}|}=\frac{\overrightarrow{KB}\cdot \overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KB}|}\right\}.$$当 $K_1,K_2\in M$ 时，若对任意的 $r\geqslant 2$，不等式 $|\overrightarrow{K_1K_2}|\leqslant c|\overrightarrow{AB}|$ 恒成立，则实数 $c$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:00:36
11977 603e034f25bdad000ac4d70e 高中 填空题 自招竞赛 在平行四边形 $ABCD$ 中，$M,N$ 分别为边 $BC,CD$ 的中点，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{b}$，则 $\overrightarrow{AC}=$  （用 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 表示）． 2022-04-16 22:58:35
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