查看数据源：601f8b4625bdad000ac4d42d
已知双曲线 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一条渐近线为 $l$，$\odot C: (x-a)^2+y^2=8$ 与 $l$ 交于 $A,B$ 两点．若 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，且 $\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中 $O$ 为坐标原点），则双曲线 $\Gamma$ 的离心率为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
  • 知识点
    >
    向量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
【答案】
$\frac{\sqrt{13}}{3}$
【解析】
取 $AB$ 的中点 $D$，由已知可得 $|AD|=|BD|=|CD|=|AC|\cos 45^{\circ}=2, |OA|=\frac{1}{4}|AB|=1$．设直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，不妨设 $\alpha$ 为锐角，则 $\tan \alpha=\frac{|CD|}{|OD|}=\frac{2}{3}=\frac{b}{a}$，故双曲线 $\Gamma$ 的离心率 $e=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{\sqrt{13}}{3}$．
题目 答案 解析 备注
0.178589s