给定点 $A(0,1), B(0,-1), C(1,0)$．若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=2|\overrightarrow{PC}|^2$，则 $|2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(2)
【标注】
【答案】
$[\sqrt{37}-3,\sqrt{37}+3].$
设 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $\overrightarrow{AP}=(x,y-1), \overrightarrow{BP}=(x,y+1), \overrightarrow{PC}=(1-x,-y)$，根据题意，得$$x^2+(y+1)(y-1)=2(1-x)^2+y^2).$$整理得$$x^2+y^2-4x+3=0\Rightarrow (x-2)^2+y^2=1.$$故点 $P$ 的轨迹是以 $(2,0)$ 为圆心，以 $1$ 为半径的圆．令 $x=\cos\theta+2, y=\sin\theta$（$\theta\in\mathbb{R}$），而 $ 2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1)$，于是，
$ $ \begin{aligned}
|2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}|&=\sqrt{(3x)^2+(3y-1)^2}\\
&=\sqrt{9(\cos\theta+2)^2+(3\sin\theta-1)^2}\\
&=\sqrt{36\cos\theta-6\sin\theta+46}\\
&=\sqrt{6\sqrt{37}\cos(\theta+\phi)+46},\\
\end{aligned} $ $
其中，$ \cos\phi=\frac{6}{\sqrt{37}},\sin\phi=\frac{1}{\sqrt{37}} $．
又 $ -1\leqslant \cos(\theta+\phi)\leqslant 1 $，故当 $ \cos(\theta+\phi)=1 $，即 $ \theta=-\phi $ 时，$ |2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}| $ 取到最大值 $ \sqrt{6\sqrt{37}+46}=\sqrt{37}+3 $；当 $ \cos(\theta+\phi)=-1 $，即 $ \theta=\pi-\phi $ 时，$ |2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}| $ 取到最小值 $ \sqrt{46-6\sqrt{37}}=\sqrt{37}-3 $．
因此，$ |2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}| $ 的取值范围是 $ [\sqrt{37}-3,\sqrt{37}+3]$
设 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $\overrightarrow{AP}=(x,y-1), \overrightarrow{BP}=(x,y+1), \overrightarrow{PC}=(1-x,-y)$，根据题意，得$$x^2+(y+1)(y-1)=2(1-x)^2+y^2).$$整理得$$x^2+y^2-4x+3=0\Rightarrow (x-2)^2+y^2=1.$$故点 $P$ 的轨迹是以 $(2,0)$ 为圆心，以 $1$ 为半径的圆．令 $x=\cos\theta+2, y=\sin\theta$（$\theta\in\mathbb{R}$），而 $ 2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1)$，于是，
$ $ \begin{aligned}
|2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}|&=\sqrt{(3x)^2+(3y-1)^2}\\
&=\sqrt{9(\cos\theta+2)^2+(3\sin\theta-1)^2}\\
&=\sqrt{36\cos\theta-6\sin\theta+46}\\
&=\sqrt{6\sqrt{37}\cos(\theta+\phi)+46},\\
\end{aligned} $ $
其中，$ \cos\phi=\frac{6}{\sqrt{37}},\sin\phi=\frac{1}{\sqrt{37}} $．
又 $ -1\leqslant \cos(\theta+\phi)\leqslant 1 $，故当 $ \cos(\theta+\phi)=1 $，即 $ \theta=-\phi $ 时，$ |2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}| $ 取到最大值 $ \sqrt{6\sqrt{37}+46}=\sqrt{37}+3 $；当 $ \cos(\theta+\phi)=-1 $，即 $ \theta=\pi-\phi $ 时，$ |2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}| $ 取到最小值 $ \sqrt{46-6\sqrt{37}}=\sqrt{37}-3 $．
因此，$ |2\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}| $ 的取值范围是 $ [\sqrt{37}-3,\sqrt{37}+3]$
【解析】
略
题目
答案
解析
备注
