在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=AA_1=2, AD=2\sqrt{3}$，$M$ 为平面 $BA_1C_1$ 内一点，则 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(4)
【标注】
【答案】
$-\frac{16}{7}$
【解析】
一方面，取 $AC$ 的中点 $O$，设 $O$ 到平面 $BA_1C_1$ 的距离为 $h$．由于 $AC\varparallel \text{平面} BA_1C_1$，所以 $A$ 到平面 $BA_1C_1$ 的距离也等于 $h$．考虑四面体 $ABA_1C_1$ 的体积，得$$\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle A_1BC_1}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABA_1}\cdot BC,$$解得 $h=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．
另一方面，我们有$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO^2}-\overrightarrow{OA^2}=|MO|^2-4.$$注意到 $|MO|$ 的最小值即为 $h$，故 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$ 的最小值为 $-\frac{16}{7}$．
另一方面，我们有$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO^2}-\overrightarrow{OA^2}=|MO|^2-4.$$注意到 $|MO|$ 的最小值即为 $h$，故 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$ 的最小值为 $-\frac{16}{7}$．
题目
答案
解析
备注
