设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$A,B,C$ 是直角坐标平面上共线的三点，且它们所在的直线不经过坐标原点．若 $\overrightarrow{OB}=a_1\overrightarrow{OA}+a_{2017}\overrightarrow{OC}$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2017$ 项的和为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(16)
【标注】
【答案】
$\frac{2017}{2}$
【解析】
由 $A,B,C$ 三点共线，知 $\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AC}$，其中 $k$ 为实常数．于是，$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=k(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})$．又 $\overrightarrow{OB}=a_1\overrightarrow{OA}+a_{2017}\overrightarrow{OC}$，所以$$\overrightarrow{OC}-(a_1\overrightarrow{OA}+a_{2017}\overrightarrow{OC})=k(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}),$$整理得$$(a_1-k)\overrightarrow{OA}=(1-a_{2017}-k)\overrightarrow{OC},$$但 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}$ 不共线，所以 $a_1-k=0, 1-a_{2017}-k=0$，解得 $a_1=k, a_{2017}=1-k$，于是 $a_1+a_{2017}=1$，所以$$S_{2017}=\frac{2017(a_1+a_{2017})}{2}=\frac{2017}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
