在双曲线 $xy=1$ 上，横坐标为 $\frac{n}{n+1}$ 的点为 $A_n$，横坐标为 $\frac{n+1}{n}$ 的点为 $B_n$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．记坐标为 $(1,1)$ 的点为 $M$，$P_n(x_n,y_n)$ 是 $\triangle A_nB_nM$ 的外心．则 $x_1+x_2+\ldots+x_{100}=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(16)
【标注】
【答案】
$200\frac{50}{101}$
【解析】
易得 $A_n$ 的坐标为 $\left(\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right)$，$B_n$ 的坐标为 $\left(\frac{n+1}{n}, \frac{n}{n+1}\right)$，所以 $|A_nM|=|B_nM|$，且 $k_{A_nB_n}=-1$．故 $\triangle MA_nB_n$ 是以 $A_nB_n$ 为底面的等腰三角形，且底面所在的直线的斜率为 $-1$．因为点 $M$ 在直线 $y=x$ 上，所以底面的垂直平分线的方程为 $y=x$．由此得 $x_n=y_n$．
因为 $A_nM$ 的中点为 $E\left(\frac{2n+1}{2(n+1)}, \frac{2n+1}{2n}\right)$．$$k_{A_nM}=\frac{\frac{n+1}{n}-1}{\frac{n}{n+1}-1}=-\frac{n+1}{n},$$所以外心 $P(x_n,x_n)$ 在直线$$y-\frac{2n+1}{2n}=\frac{n}{n+1}\left(x-\frac{2n+1}{2(n+1)}\right)$$上，由此得 $x_n=\frac{(2n+1)^2}{2n(n+1)}$．即$$x_n=\frac{(2n+1)^2}{2n(n+1)}=2+\frac{1}{2n(n+1)}+2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).$$从而$$x_1+x_2+\ldots+x_{100}=200+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\right)=200\frac{50}{101}$$．
因为 $A_nM$ 的中点为 $E\left(\frac{2n+1}{2(n+1)}, \frac{2n+1}{2n}\right)$．$$k_{A_nM}=\frac{\frac{n+1}{n}-1}{\frac{n}{n+1}-1}=-\frac{n+1}{n},$$所以外心 $P(x_n,x_n)$ 在直线$$y-\frac{2n+1}{2n}=\frac{n}{n+1}\left(x-\frac{2n+1}{2(n+1)}\right)$$上，由此得 $x_n=\frac{(2n+1)^2}{2n(n+1)}$．即$$x_n=\frac{(2n+1)^2}{2n(n+1)}=2+\frac{1}{2n(n+1)}+2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).$$从而$$x_1+x_2+\ldots+x_{100}=200+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\right)=200\frac{50}{101}$$．
题目
答案
解析
备注
