将向量 $\overrightarrow{OA}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到向量 $\overrightarrow{OB}$．若 $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(7,9)$，则向量 $\overrightarrow{OB}=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
$\left(-\frac{11}{5},\frac{23}{5}\right)$
【解析】
设 $\overrightarrow{OA}=(x,y)$，则 $\overrightarrow{OB}=(-y,x)$，所以$$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(2x-y,2y+x)=(7,9),$$即$$\left\{\begin{aligned}
&2x-y=7,\\
&2y+x=9.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $(x,y)=\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)$．因此，$\overrightarrow{OA}=\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right), \overrightarrow{OB}=\left(-\frac{11}{5},\frac{23}{5}\right)$．
&2x-y=7,\\
&2y+x=9.\\
\end{aligned}\right.$$解得 $(x,y)=\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)$．因此，$\overrightarrow{OA}=\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right), \overrightarrow{OB}=\left(-\frac{11}{5},\frac{23}{5}\right)$．
题目
答案
解析
备注
