若两个非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$，且 $(\overrightarrow{a}
+\overrightarrow{b})\perp (\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})$，则 $\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=$ ．
+\overrightarrow{b})\perp (\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})$，则 $\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(7)
【标注】
【答案】
$\frac{\sqrt{5+\sqrt{13}}}{2}$
【解析】
由 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp (\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})$，得$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})=0,$$即$$\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-3\overrightarrow{b}^2=0\Rightarrow |\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|-3|\overrightarrow{b}|^2=0.$$解得$$|\overrightarrow{a}|=\frac{1+\sqrt{13}}{2}|\overrightarrow{b}|.$$从而$$\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=\sqrt{\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2}}=\sqrt{\frac{|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|^2}{|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|^2}}=\frac{\sqrt{5+\sqrt{13}}}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
