已知平面向量 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 满足 $|\overrightarrow{e_1}|=|\overrightarrow{e_2}|=1, \overrightarrow{e_1}\perp \overrightarrow{e_2}$．若对任何平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，都有$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2\geqslant (t-2)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{e_2})(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e_1}),$$则实数 $t$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(1)
【标注】
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【解析】
不妨设 $\overrightarrow{e_1}=(1,0), \overrightarrow{e_2}=(0,1)$，并设 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1), \overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则条件可化为$$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\geqslant (t-2)(x_1x_2+y_1y_2)+tx_2y_1,$$即$$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\geqslant t(x_1x_2+y_1y_2+x_2y_1)$$对任意实数 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 都成立．
设 $\lambda\in\mathbb{R^+}$，则$$\begin{aligned}
x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2&=x_1^2+\lambda^2x_2^2+y_2^2+\lambda^2y_1^2+(1-\lambda^2)x_2^2+(1-\lambda^2)y_1^2&\geqslant 2\lambda x_1x_2+2\lambda y_1y_2+2(1-\lambda^2)x_2y_1,\end{aligned}$$令 $\lambda=1-\lambda^2$，得 $\lambda=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．从而$$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\geqslant (\sqrt{5}-1)(x_1x_2+y_1y_2+x_2y_1).$$易知上式等号可以取到，故实数 $t$ 的最大值是 $\sqrt{5}-1$．
设 $\lambda\in\mathbb{R^+}$，则$$\begin{aligned}
x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2&=x_1^2+\lambda^2x_2^2+y_2^2+\lambda^2y_1^2+(1-\lambda^2)x_2^2+(1-\lambda^2)y_1^2&\geqslant 2\lambda x_1x_2+2\lambda y_1y_2+2(1-\lambda^2)x_2y_1,\end{aligned}$$令 $\lambda=1-\lambda^2$，得 $\lambda=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．从而$$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\geqslant (\sqrt{5}-1)(x_1x_2+y_1y_2+x_2y_1).$$易知上式等号可以取到，故实数 $t$ 的最大值是 $\sqrt{5}-1$．
题目
答案
解析
备注
