若非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2$，则 $|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(13)
【标注】
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【解析】
设 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1), \overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则 $x_1^2+y_1^2=4,(x_1+2x_2)^2+(y_1+2y_2)^2=4$．于是，$$\begin{aligned}
|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|&=\sqrt{(2x_1+x_2)^2+(2y_1+y_2)^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\\
&=\sqrt{3}\cdot \sqrt{\frac{16}{3}-(x_2^2+y_2^2)}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\\
&\leqslant \sqrt{\left((\sqrt{3})^2+1^2\right)\cdot \frac{16}{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.\\
\end{aligned}$$上式用到了柯西不等式，其中等号当且仅当 $\sqrt{3}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{\frac{16}{3}-(x_2^2+y_2^2)}$，即 $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{\frac{4}{3}}$ 时成立．故 $|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|$ 的最大值为 $\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|&=\sqrt{(2x_1+x_2)^2+(2y_1+y_2)^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\\
&=\sqrt{3}\cdot \sqrt{\frac{16}{3}-(x_2^2+y_2^2)}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}\\
&\leqslant \sqrt{\left((\sqrt{3})^2+1^2\right)\cdot \frac{16}{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.\\
\end{aligned}$$上式用到了柯西不等式，其中等号当且仅当 $\sqrt{3}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{\frac{16}{3}-(x_2^2+y_2^2)}$，即 $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{\frac{4}{3}}$ 时成立．故 $|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}|$ 的最大值为 $\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
题目
答案
解析
备注
