若平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 满足 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=1$，则 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(10)
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
因为 $\overrightarrow{a}$ 是单位向量，可设 $\overrightarrow{a}=(1,0)$，由题中条件，可设 $\overrightarrow{b}=(1,x), \overrightarrow{c}=(2,y)$．则由 $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1$，知 $2+xy=1$，即 $y=-\frac{1}{x}$．从而$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=\left|(1,0)+(1,x)+\left(2,-\frac{1}{x}\right)\right|=\sqrt{16+\left(x-\frac{1}{x}\right)^2}\geqslant 4.$$当 $x=\pm 1$ 时等号成立．因此，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$ 的最小值是 $4$．
题目
答案
解析
备注
