已知 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ 是不共线的非零向量，设 $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{1+r}\overrightarrow{OA}+\frac{r}{1+r}\overrightarrow{OB}$，定义点集$$M=\left\{K~|~\frac{\overrightarrow{KA}\cdot \overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KA}|}=\frac{\overrightarrow{KB}\cdot \overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KB}|}\right\}.$$当 $K_1,K_2\in M$ 时，若对任意的 $r\geqslant 2$，不等式 $|\overrightarrow{K_1K_2}|\leqslant c|\overrightarrow{AB}|$ 恒成立，则实数 $c$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(19)
【标注】
【答案】
$\frac{4}{3}$
【解析】
由题设，知 $KC$ 平分 $\angle AKB$．从而，$\frac{KA}{KB}=\frac{AC}{BC}=r$．
不妨设 $AB=2$，则点 $K$ 的轨迹是以 $\left(\frac{r^2+1}{r^2-1},0\right)$ 为圆心，$\frac{2r}{r^2-1}$ 为半径的圆．于是，$c\geqslant \frac{|\overrightarrow{K_1K_2}|}{2}$．而$$\frac{|\overrightarrow{K_1K_2}|}{2}\leqslant \frac{2r}{r^2-1}\leqslant \frac{4}{3}.$$故 $c$ 的最小值为 $\frac{4}{3}$．
不妨设 $AB=2$，则点 $K$ 的轨迹是以 $\left(\frac{r^2+1}{r^2-1},0\right)$ 为圆心，$\frac{2r}{r^2-1}$ 为半径的圆．于是，$c\geqslant \frac{|\overrightarrow{K_1K_2}|}{2}$．而$$\frac{|\overrightarrow{K_1K_2}|}{2}\leqslant \frac{2r}{r^2-1}\leqslant \frac{4}{3}.$$故 $c$ 的最小值为 $\frac{4}{3}$．
题目
答案
解析
备注
