设单位向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为锐角．若对于任意的 $(x,y)\in \{(x,y)~|~|x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}|=1, xy\geqslant 0,x,y\in\mathbb{R}\}$，都有 $|x+2y|\leqslant\frac{8}{\sqrt{15}}$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(5)
【标注】
【答案】
$\frac{1}{4}$
【解析】
记 $<\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}>=\theta$．由$$|x+2y|\leqslant \frac{8}{\sqrt{15}}|x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}||,$$平方并整理，知$$49x^2+4y^2+xy(128\cos\theta-60)\geqslant 0$$对任意 $x,y\in\mathbb{R}, xy\geqslant 0$ 都成立．注意到$$49x^2+4y^2\geqslant 2\sqrt{49x^2\cdot 4y^2}=28xy,$$故$$28xy+xy(128\cos\theta-60)\geqslant 0\Rightarrow \cos\theta\geqslant \frac{1}{4}.$$由此，$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cos\theta\geqslant \frac{1}{4}.$$易知上上述不等式中等号可以成立，故 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$．
题目
答案
解析
备注
