设 $a,b\in\mathbb{C}$．若 $a+2\overline{b}=i, \overline{a}\cdot \overline{b}=-5-i$，则 $|a|^2$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(1)
【标注】
【答案】
$8$ 或 $13$
【解析】
由 $2\overline{a}\cdot \overline{b}=-10-2i$ 及 $a+2\overline{b}=i$，消去 $2\overline{b}$，得 $\overline{a}(i-a)=-10-2i.$
上式两边取共轭复数，得 $a(-i-\overline{a})=-10+2i.$
于是$$i\overline{a}-\overline{a}\cdot a=-10-2i, ~~~~ ① $$$$-ia-\overline{a}\cdot \overline{a}=-10+2i.~~~~~ ② $$① - ②，得$$i(\overline{a}+a)=-4i\Rightarrow \overline{a}+a=-4,$$即 $Re(a)=-2$．
① + ②，得$$i(a-\overline{a})=20-2\overline{a}\cdot a\Rightarrow Im(a)=\frac{20-2|a|^2}{-2}=|a|^2-10.$$从而，$$|a|^2=(Re(a))^2+(Im(a))^2=|a|^4-20|a|^2+104\Rightarrow (|a|)^2-21|a|^2+104=0.$$解得 $|a|^2=8$ 或 $13$．
上式两边取共轭复数，得 $a(-i-\overline{a})=-10+2i.$
于是$$i\overline{a}-\overline{a}\cdot a=-10-2i, ~~~~ ① $$$$-ia-\overline{a}\cdot \overline{a}=-10+2i.~~~~~ ② $$① - ②，得$$i(\overline{a}+a)=-4i\Rightarrow \overline{a}+a=-4,$$即 $Re(a)=-2$．
① + ②，得$$i(a-\overline{a})=20-2\overline{a}\cdot a\Rightarrow Im(a)=\frac{20-2|a|^2}{-2}=|a|^2-10.$$从而，$$|a|^2=(Re(a))^2+(Im(a))^2=|a|^4-20|a|^2+104\Rightarrow (|a|)^2-21|a|^2+104=0.$$解得 $|a|^2=8$ 或 $13$．
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