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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
7822 591127cde020e700094b08c6 高中 填空题 高中习题 边长为 $2$ 的正三角形 $ABC$（包括边界）内有一点 $P$，满足 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=1$，则 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:19:54
7821 591127ede020e7000878f533 高中 填空题 高中习题 如图，圆 $O$ 的半径为 $1$，$OA=\dfrac 12$．设 $B,C$ 是圆 $O$ 上任意两点，则 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:19:54
7819 591128aee020e700094b08d6 高中 填空题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$AC=3$，角 $A$ 的平分线 $AD$ 与 $AB$ 边上的中线 $CM$ 的交点为 $O$，若 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则 $x+y=$  ． 2022-04-16 21:18:54
7742 5926718dee79c2000759a9b8 高中 填空题 高中习题 已知数集 $ X=\left\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n} \right\} $（其中 $x_i>0$，$i=1,2,\cdots,n$，$n \geqslant 3$），若对任意的 $x_k \in X$（$k=1,2,\cdots,n$），都存在 $x_i,x_j \in X$（$x_i \neq x_j$），使得下列三组向量中恰有一组共线：
① 向量 $(x_i,x_k)$ 与向量 $(x_k,x_j)$；
② 向量 $(x_i,x_j)$ 与向量 $(x_j,x_k)$；
③ 向量 $(x_k,x_i)$ 与向量 $(x_i,x_j)$，
则称 $X$ 具有性质 $P$．例如 $\{1,2,4\}$ 具有性质 $P$．
若 $\{1,3,x\}$ 具有性质 $P$，则 $x$ 的取值为 ；若数集 $\{1,3,x_1,x_2\}$ 具有性质 $P$，则 $x_1+x_2$ 的最大值与最小值之积为 ．		 2022-04-16 21:36:53
7740 592672daee79c20009339812 高中 填空题 高中习题 设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $f:V \mapsto V,{\bf a} \in V$，记 ${\bf a} $ 的象为 $f\left( {{\bf a} } \right)$．若映射 $f:V \mapsto V$ 满足：对所有 ${\bf a} ,{\bf b} \in V$ 及任意实数 $\lambda,\mu $ 都有 $f\left( {\lambda {\bf a} + \mu {\bf b} } \right) = \lambda f\left( {{\bf a} } \right) + \mu f\left( {{\bf b} } \right)$，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换．现有下列命题：
① 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $f\left( {\bf 0 } \right) = \bf 0 $；
② 对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = 2{\bf a} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
③ 若 ${\bf e} $ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = {\bf a} - {\bf e} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
④ 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，${\bf a} $，${\bf b} \in V$，若 ${\bf a} $，${\bf b} $ 共线，则 $f\left( {{\bf a} } \right)$，$f\left( {{\bf b} } \right)$ 也共线．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）		 2022-04-16 21:35:53
7739 5926734bee79c2000874a11e 高中 填空题 高考真题 设 $V$ 是全体平面向量构成的集合，若映射 $f:V \to {\mathbb{R}}$ 满足：对任意向量 ${\bf a} = \left({x_1},{y_1}\right) \in V,$ ${\bf b} = \left({x_2},{y_2}\right) \in V$，以及任意 $\lambda \in {\mathbb{R}}$，均有 $f\left(\lambda {\bf a} + \left(1 - \lambda \right){\bf b} \right) = \lambda f\left({\bf a} \right) + \left(1 - \lambda \right)f\left({\bf b} \right)$，则称映射 $f$ 具有性质 $P$．现给出如下映射：
① ${f_1}:V \mapsto {\mathbb{R}},{f_1}\left({\bf m} \right) = x - y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
② ${f_2}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_2}\left({\bf m} \right) = {x^2} + y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
③ ${f_3}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_3}\left({\bf m} \right) = x + y + 1,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$．
其中，具有性质 $P$ 的映射的序号为  ．（写出所有具有性质 $P$ 的映射的序号）		 2022-04-16 21:35:53
7719 59268023ee79c2000759a9f5 高中 填空题 高中习题 在直角坐标系 $xOy$ 中，已知两定点 $A(1,0)$，$B(1,1)$．动点 $P(x,y)$ 满足 $\begin{cases}0\leqslant \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}\leqslant 1,\\ 0\leqslant \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OB} \leqslant 2.\end{cases}$ 则点 $P$ 构成的区域的面积是  ；点 $Q(x+y,x-y)$ 构成的区域的面积是  ． 2022-04-16 21:24:53
7695 59d1067134a80e000839ca33 高中 填空题 高中习题 已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$，$\big|\overrightarrow a\big|=1$，$\big|\overrightarrow b\big|=2$，若对任意单位向量 $\overrightarrow e$，均有 $\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\leqslant \sqrt 6$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的最大值是 ． 2022-04-16 21:12:53
7672 59c8c7db778d4700085f6c79 高中 填空题 自招竞赛 已知 $ABCD-EFGH$ 是棱长为 $6$ 的正方体，边长为 $4$ 的等边 $\triangle XYZ$ 在面 $DCGH$ 内运动，且始终保持 $YZ\parallel GH$，若 $M,N$ 分别是 $AX,BY$ 的中点，则 $MN=$  ． 2022-04-16 21:01:53
7666 59c9bc01778d470007d0f3a0 高中 填空题 高中习题 已知 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=\dfrac 12\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {c}=1$，则 $\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:58:52
7665 59c9c196778d4700085f6da5 高中 填空题 高中习题 已知坐标平面上的凸四边形 $ABCD$ 满足 $\overrightarrow {AC}=(1,\sqrt 3)$，$\overrightarrow {BD}=(-\sqrt 3,1)$，那么 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:58:52
7661 59c9c98e778d4700085f6dc9 高中 填空题 高中习题 已知 $M(3,2)$，点 $P$ 在 $y$ 轴上运动，点 $Q$ 在圆 $C:(x-1)^2+(y+2)^2=4$ 上运动，则 $\overrightarrow {MP}+\overrightarrow {MQ}$ 的长度的最小值是 ． 2022-04-16 21:55:52
7656 59caf90d778d470007d0f452 高中 填空题 高中习题 设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边，满足 $b^2-2b+c^2=0$，则 $\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:52:52
7643 595c86526e0c650009e7a1ec 高中 填空题 高中习题 已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 的模均在区间 $[1,3]$ 中，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围为 ． 2022-04-16 21:46:52
7545 59e6b010c3f07000093ae2c1 高中 填空题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$BM=2$，$AM=AB-AC$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 ． 2022-04-16 21:25:52
7534 59ddc7f91964b600085e40dc 高中 填空题 高中习题 在三棱锥 $D-ABC$ 中，已知 $AB=2$，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-3$．设 $AD=a$，$BC=b$，$CD=c$，则 $\dfrac{c^2}{ab+1}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 21:23:52
7526 59e06415d474c0000788b483 高中 填空题 高中习题 在面积为 $2$ 的平行四边形 $ABCD$ 中，点 $P$ 为直线 $AD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+BC^2$ 的最小值是 ． 2022-04-16 21:21:52
7473 590bdd656cddca000a081b3e 高中 填空题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $A,B,C$ 是平面上不同的三点，并且都在圆 $x^2+y^2=1$ 上，若存在实数 $\lambda,\mu$ 使得 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则 $\left(\lambda -3\right)^2+\mu^2$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:10:52
7467 59c8c7db778d4700085f6c69 高中 填空题 自招竞赛 点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上，点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内，且满足 $\overrightarrow{AD}=\dfrac34\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\dfrac25\overrightarrow{BC}$，则 $\dfrac{S_{\triangle APD}}{S_{\triangle ABC}}=$  ． 2022-04-16 21:09:52
7439 59bb392477c760000717e328 高中 填空题 自招竞赛 在 $\triangle{ABC}$ 中，$AB=8$，$AC=10$，$BC=12$，若 $BD$ 是 $AC$ 边上的中线，则 $BD=$  ． 2022-04-16 21:04:52
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