已知 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=\dfrac 12\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {c}=1$，则 $\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[4,+\infty)$
【解析】
向量 $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c}$ 的位置关系不容易直接通过图形表达，选择用坐标表达：
因为 $\overrightarrow {a}$ 为单位向量，可设 $\overrightarrow {a}=(1,0)$，则由题中条件知可设$$\overrightarrow {b}=(1,x),\overrightarrow {c}=(2,y),$$由 $\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=1$ 知 $2+xy=1$，即 $y=-\dfrac 1x$．
从而有$$\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|=\left|(1,0)+(1,x)+\left(2,-\dfrac 1x\right)\right|=\sqrt{16+\left(x-\dfrac 1x\right)^2}\geqslant 4.$$当 $x=\pm 1$ 时等号成立．
因为 $\overrightarrow {a}$ 为单位向量，可设 $\overrightarrow {a}=(1,0)$，则由题中条件知可设$$\overrightarrow {b}=(1,x),\overrightarrow {c}=(2,y),$$由 $\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=1$ 知 $2+xy=1$，即 $y=-\dfrac 1x$．
从而有$$\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|=\left|(1,0)+(1,x)+\left(2,-\dfrac 1x\right)\right|=\sqrt{16+\left(x-\dfrac 1x\right)^2}\geqslant 4.$$当 $x=\pm 1$ 时等号成立．
题目
答案
解析
备注
