注意到\[\begin{split}\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b&=\dfrac{\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)^2-\overrightarrow a^2-\overrightarrow b^2}{2}\\&\geqslant \dfrac{1^2-3^2-3^2}{2}=-\dfrac{17}2,\end{split}\]等号当 $\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=3$，$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=1$ 时取得，因此 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的最小值为 $-\dfrac{17}2$．
另一方面，由\[\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)^2\geqslant 0,\]得\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant \left(\dfrac{\overrightarrow a+\overrightarrow b}2\right)^2\leqslant \dfrac 94,\]等号当 $\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=\dfrac 32$，$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=3$ 时取得，因此 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的最大值为 $\dfrac 94$．
综上所述，结合连续性，可得 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．